807 
regulier zou zijn, zonder dat het er toe doet, hoe hij zich gedraagt 
in een gebied daarbuiten. Inderdaad, als men zich de zaak zo voor- 
stelt, dan klopt alles wel. Ook het als ’t ware terloops daarheen- 
loerpen van het genoemde tussenzinnetje wijst op de juistheid van 
deze opvatting. 
Om kort te gaan, wij nemen dus als bedoeling van Bourlet 
aan dat de funksies, waarop de transmutatie zal worden toegepast, 
regulier zijn in een zeker sirkelvormig gebied rondom een punt 
# 0 , zonder dat men er zich om hoeft te bekommeren, hoe zo’n 
funksie elders gedefinieerd is; verder dat hetzelfde geldt van de 
getransmuteerden van deze funksies, en dat dit de transmutatie tot 
een reguliere stempelt, onafhankelik van de vraag of hij al dan 
niet voor alle funksies die in een omgeving van x 0 regulier zijn, 
funksies oplevert met dezelfde eigenschap. Waar Bourlet dus 
spreekt van een reguliere transmutatie, zullen we dit zó opvatten, 
dat bedoeld is : regulier ten opzichte van zeker funksioneel veld. 
Omtrent dit F. V. maakt Bourlet stilzwijgend twee belangrijke 
onderstellingen. Hij begint zijn bewijs met de konstruksie van de 
funksierij 
tg, • • 5 tt/tl ) • • • • • • • • • • ( 20 ) 
waarmee de reeks (1) zal worden opgebouwd, en wel leidt hij deze 
af uit de funksies waarin de rij van gehele machten van x 
x 
„o 
V * 
( 21 ) 
door T wordt getransformeerd. Er is dus stilzwijgend ondersteld dat 
de funksies (21) deel uitmaken van het F. V. van T, m. a. w. dat 
iedere funksie van de rij 
$ o > sjt • • • t ë? n • • • ( < "- J ) 
waarin (21) door T getransformeerd wordt, regulier is in een omgeving 
van x 0 . 
Deze stilzwijgende onderstelling is echter essentieel. Om dit in 
te zien merken we op dat, als men uitgaat van de onderstelling 
dat een reeks van de vorm (1) de gegeven transmutatie voorstelt, 
daaruit het bestaan van de £’s volgt. Immers, voor iedere funksie 
van de rij (21) is die reeks eindig , en dus de konvergentie builen 
twijfel; men vindt, als m x , m 3 , . . . de binomiaalkoëffisiënten van 
m zijn, 
B m = x m a 0 4- m^x m ~ 1 a 1 -f . . . -f a m — (« + «)" 1 • • • >23) 
waarin het laatste lid een simboliese vorm is, die betekent dat men 
bij de uitwerking van het binomium a k door aj c moet vervangen, 
en in de term zonder a, dus bij x m , de faktor a ü toevoegen. 
52* 
