808 
Dus, zou' men onderstellen dat x m niet voor iedere gehele m een 
getransmuteerde heeft, dan zou het bestaan van de reeks (1) al 
dadelik uitgesloten zijn. 
Omgekeerd zijn echter de a’s door de Vs volkomen bepaald, 
want men kan uit (23), door daarin achtereenvolgens m = 0, 1, 2, . . . 
te stellen, de funksies a 0 , a x , a 2 , . . . oplossen; er komt 
(24) 
a m — (i ■ v ) 111 
waarbij het tweede lid weer een simboliese vorm is waarin men bij 
uitwerking door moet vervangen, en in de term zonder 
dus bij ( — x) m , de faktor £ 0 toevoegen. 
De tweede onderstelling waarop we het oog hadden, is niet 
minder essentieel voor het teorema en luidt: Er is een sifkel (a) 
waartoe alle £’s behoren. Is dit nl. niet het geval, dan is de bene- 
denste grens van de konvergentiestralen van de funksies (22) gelijk 
aan nul (zonder dat die grens bereikt wordt, aangezien dit in strijd 
zou zijn met de reeds gemaakte onderstelling dat alle Vs regulier 
zijn in x 0 ). Het bestaan van de reeks (1), in een omgeving van w 0 , 
voor andere dan rationele, gehele funksies, is dan blijkbaar eveneens 
uitgesloten, al neemt men die omgeving ook nog zo klein. Alleen 
in het punt x 0 zelf is een uitkomst niet per se onmogelik, maar 
mocht al zo’n uitkomst bestaan, dan zal men toch x Q niet als middel- 
punt van een gebied beschouwen. 
Men kan dus gerust beweren dat Bourlet bedoeld moet hebben, 
ook deze tweede onderstelling te maken. 
Dat er een sirkel (o) is, waartoe alle £’s behoren, is ook in over- 
eenstemming met onze opvatting omtrent de aard van een funksioneel 
veld, zoals we die in No. 9 uiteengezet hebben: we zeiden daar dat 
het F. V. uit de aard van de zaak zo zal zijn dat alle funksies er 
van regulier, zijn in een gemeenscha ppeliJc gebied, dat we het nume- 
rieke veld van de funksies genoemd hebben (N. V. F.) ; dit is dan 
hier de sirkel (o). Verder volgt uit (24) dat alle a’s tot diezelfde 
sirkel behoren. Omgekeerd volgt uit (23) dat, als alle a’s tot een 
sirkel (u) behoren, dit ook met de Vs het geval is, maar Pincherle 
bewijst dat het geldigheidsgebied van de reeks (1) zich in dit geval 
nog over een oneindige verzameling van andere, transsendente, 
funksies uitstrekt, waarvan alle getransmu teerden tot de genoemde 
sirkel behoren. 
Nadat zo de grootheden a m met behulp van de grootheden ge- 
konstrueercl zijn, zegt Bourlet: „Considérons alors la série (1) 
a 
2 / 
u 
