'809 
po ur toute fonction reguliere u qui rend cette série convergente, 
cette égalité définit une transmutation additive, uniforme, continue S) 
et régulière”. Deze beweringen licht hij niet nader toe. 
Hier lijkt me in de eerste plaats de uitdrukkingswijze niet zuiver; 
men kan wel zeggen : „pour toute fonction régulière cette égalité 
détinit une transmutation uniforme et réguliere ”, maar niet: „pour 
toute fonction réguliere cette égalité définit une transmutation 
additive ”, of „continue”; immers, een operatie kan niet voor één 
funksie additief zijn, en nog veel minder kontinu, aangezien voor 
het begrip „additief’ minstens twee , voor het begrip „kontinu” in 
ieder geval een oneindig aantal funksies nodig zijn. De bedoeling 
kan evenwel geen andere zijn dan degene die zou worden uitgedrukt, 
indien men de woorden „pour toute fonction régulière” verving 
door „pour 1’ensemble des fonctions régulières considéré”. Maar dan 
volgt onmiddellik uit het onderzoek van No. 13 (2e mededeling) dat 
de bewering, wat de kontinuiteit betreft, zo in zijn algemeenheid 
niet waar kan zijn : immers, daar vonden we dat de reeks Pu wèl 
voor alle funksies die tot een sirkel (/>) behoren, k onver g ent is in 
alle punten van het korresponderende gebied («), maar dat hij geen 
operatie voorstelt die in het funksionele veld van deze funksies 
kontinu is t. o. v. van het N. V. O. («), aangezien de kontinuiteit 
in het punt x — u verstoord werd. 
Daar nu echter het verdere betoog, waaruit moet blijken dat 
Pu identiek is met Ta, berust op de beweerde kontinuiteit van 
Pu, moet het bewijs als onjuist worden aangemerkt. Men zou nog 
kunnen menen dat men de kontinuiteit van Pu misschien juist uit 
* de onderstelde kontinuiteit van Tu zou kunnen afleiden en daarna 
de identiteit van Pu en Tu bewijzen. Maar ook dit denkbeeld gaat 
niet op, en het is misschien goed dit wat nader uiteen te zetten, 
omdat het er toe kan bijdragen de tamelik beperkte draagwijdte 
van het teorema X van Bourlet te begrijpen. Dit teorema is van 
groot belang, omdat het, globaal gezegd, beweert dat een wille- 
keurige transmutatie naar gehele pozitieve machten van de biezondere 
transmutatie D ontwikkeld kan worden; het is uit dien hoofde met 
liet teorema van Taylor of Mac-Laurin uit de funksieteorie te 
vergelijken. 
15. Alvorens met de bedoelde uiteenzetting te beginnen, willen 
we kortheidshalve een naam invoeren voor de transmutatie, zoals 
i) Kursivering van mij. Tegen de bewering dat de transmutatie regulier is, kan, 
als de konvergentie van de reeks uniform is in het N. V. O., geen bezwaar 
worden gemaakt. 
