810 
we ons die nu langzamerhand zijn gaan denken; we zullen zo’n 
transmutatie normaal noemen. 
Een normale, additieve transmutatie is dus een transmutatie waar- 
van het volgende geldt : 
1°. Er is een funksioneel veld F (T), waarvan de funksies beho- 
ren tot eenzelfde sirkel {o), voor welke funksies de transmutatie als 
uitkomst oplevert funksies die behoren tot eenzelfde sirkel («). 
2°. Van het F. V. maken alle rationele gehele funksies deel uit. 
3°. De transmutatie is kositinu in het genoemde tweetal van toe- 
gevoegde velden F [T) en («). 
Een normale transmutatie is dus altijd regulier, zonder dat het 
omgekeerde hoeft te gelden. Verder volgt uit de definitie, in verband 
met de kontinu iteitse\g®naeh ap van een volledige transmutatie, dat 
iedere zodanige transmutatie ook normaal is. Omgekeerd kan men 
echter, voor zover ik zie, niet bewijzen dat de reeks, die aan een 
normale transmutatie beantwoordt, ook noodzakelik de volledigheids- 
eigenschap heeft. 
De sirkel (o) kan gelijk aan, en kleiner of groter dan («) zijn ; 
het eerste doet zich bv. voor bij de transmutatie D~ l , het tweede 
en liet derde bij de substitutieoperatie S» als co respektievelik gelijk 
aan \ x en 'lx is (x g - — 0). 
We ontwikkelen nu een willekeurige funksie u van F (T) ineen 
machtreeks : 
u = °s + c i («—«„) + c 2 ~® 0 Y + • • . • 
Stellen we ^ 
(fm (x) = r 0 4- Cj (as — as 0 ) -F ... 4- e m (x—.v 0 )" 1 , . . . (25) 
dan konvergeert de fundamentaalreeks 
Vo04 • • ‘ tr?n( A ‘)' • • • * (26) 
in het gebied (>) uniform naar de funksie u, omdat u tot (u) behoort. 
Nu zijn de grootheden aj c juist zo gekonstrueerd dat, voor alle 
gehele waarden van k, 
T («i4j — P (x^). 
Wegens de additieve eigenschap van T en P, in verband met 
het feit dat de grootheden (pjjs) rationele gehele funksies van x zijn, 
volgt hieruit 
T (rp m (x)) — P( f/vH) • ...... (27) 
Daar nu de rij van funksies (26) in het gebied (o) uniform naar 
u konvergeert, volgt uit de onderstelde kontmuiteit van T fzie de 
tweede vorm van de kontinuiteitsdefinitie in N°. 9, 2e mededeling) 
dat de rij van funksies 
