813 
m > ^/> maar juist omdat men hiervoor M misschien veel groter 
dan n Q moet kiezen, zal het overige deel van het schema een 
belangrijk aantal termen kunnen bevatten, zodat er over het 
gezamenlik bedrag daarvan niets te zeggen is. Want wel leveren de 
volledige, d. i. oneindige reeksen, in de rijen van het rangnummer 
n -f 1 af, tot aan m toe, een bedrag kleiner dan 2e, zoals uit de 
eerste van de ongelijkheden (30) volgt, maar met de eindige stukken 
van die reeksen hoeft dat volstrekt niet liet geval te zijn, als er 
termen van allerlei argument in voorkomen. 
Het lijkt me daarom onmogelik de gelijkheid (29), ook al bestaan 
beide leden, algemeen te bewijzen, en daarmee wordt het teorema 
A van Bourlkt, in zijn algemeenheid , illuzoor. Ook Pincherle, bij 
wie eveneens de genoemde ontwikkeling voorkomt, en van wie de 
naam ,, série fonctionelle de Taylor” afkomstig is, wijst er op dat 
deze niet zonder meer geldig is, en dat dit in ieder biezonder geval 
onderzocht moet worden. Hij noemt echter geen kategorie van 
gevallen, waarin de geldigheid mag worden uitgesproken, en uit liet 
voorgaande onderzoek is duidelik dat dit ook niet zo gemakkelik 
is: men ziet b.v. dat het niet voldoende is dat de uitdrukking (31) 
voor de natuurlike majorant u van de funksie u, 
u = : c o! A |c t | y f |c,| y 2 + . . . , (y = as — as 0 ) 
in alle punten van het gebied («) willekeurig klein gemaakt kan 
worden, om daaruit af te leiden dat dit ook voor u zelf het geval 
is; dit zou alleen kunnen als ook alle a's majorantfunksies waren. 
Ofschoon nu het voorgaande onderzoek tot een negatief rezultaat 
leidt, is het toch niet zonder belang, omdat er duidelik uit blijkt 
war de uitspraak van het teorema in de weg staat: zonder een 
spesiale onderstelling omtrent de a’s komt men er niet. Wat nu dit 
punt betreft, wij hebben gezien dat de reeks F, globaal gezegd, 
kontinu is, als hij een volledige transmutatie voorstelt x ). 
We onderstellen dus, meer presies, dat de transmutatie P volledig 
is in het' sirkelvormige gebied («), met middelpunt x 0 , dat het nume- 
rieke operatieveld van T vormt; verder, dat er onder de funksies 
die tot het met («) korresponderende gebied (/?) behoren, zijn die 
deel uitmaken van het F. V. F {T) van T; de verzameling van 
déze funksies stellen we voor door F l ( T ). Nu geldt de vergelijking 
(28) in het N. V. O. («) van T voor alle funksies die deel uitmaken 
b Men moet niet menen dat, indien Pu in het gebied («) voor een willekeurige 
funksie van F(T) bestaat, hieruit de volledigheid van P zou volgen. Dit zou 
alleen het geval zijn, als liet funksionele veld F (T ) alle funksies bevatte, die tot 
een zekere sirkel (o) behoren, maar het is volstrekt niet ondenkbaar dat T zo 
gedefinieerd is dat dit niet het geval is. 
