814 
van liet F. V. van T. A fortiori geldt die vergelijking dus in liet 
gebied («) voor een funksie u van F l (T). Maar verder geldt van 
u dat 
lira P(tp m (x)) = Pu (29a) 
m = co 
Want 1° is er, omdat u tot (f?) behoort, een sirkel (o) ^>((3), waarin 
de fundamentaalreeks (26) uniform naar u konvergeert, en 2° is de 
reeks P wegens zijn volledigheid in («), t.o.v. van (/?), Jcontinu in 
elk toegevoegd veldpaar, waarvan («) het JST. V. is, en het F. V . 
bestaat uit de funksies die tot (o) behoren (zie N°. 12. 2e mededeling). 
Uit (28) en (29«) volgt nu 
T(u) = P(u) 
en wel in («), en voor de funksies van F X {T). 
Wij hebben daarmee een beperkte geldigheid van het teoreina 
van Mac-Lauiun *) voor de funksionaalrekening bewezen, wat uit- 
gedrukt wordt in de volgende stelling: 
Is de reeks P, die aan een n o r ma le additieve transmutatie T 
beantwoordt, rolled i g in het sirkelvormige gebied («), dat het N. V.0 
van T vormt, dan is, in dit gebied, 
T{u) = P(u) 
voor d i e funksies van het funksionele veld F{ T) van T, die tot de 
met («) korresponderende sirkel (ft) behoren. 
Met het bovenstaande is, voor zover ik weet, voor liet eerst een 
presiese omlijning van gevallen gegeven, waarin het teorema van 
Taylor voor de funksionaalrekening mag worden uitgesproken. 
Er volgt uit dat men, alvorens tot de behandeling van dit teorema 
over te gaan, eerst die reeksen van de vorm (1) moet beschouwd 
hebben, die een volledige transmutatie voorstellen. De behandeling 
van het teorema XI van Bourlet moet dus aan die van het teorema 
X voorafgaan. 
Opmerkingen 1°. We hebben niet aan de algemeenheid te kort 
gedaan, door te onderstellen dat P juist volledig in het hele X. V. O. 
(«) van T is. Want mocht P slechts volledig zijn in een deel («) 
van dit N . V., dan zou men, om het teorema te kunnen toepassen, 
het eerstgedachte veldpaar van T eenvoudig hebben te vervangen 
door een ander, waarvan het numerieke veld het genoemde deel («) is. 
2°. Wij hebben gesproken van het deel F X (T), dat het funksionele 
veld F{T) van T met dat van P, gevormd door de funksies die 
l ) We noemen de stelling spesiaal teorema van Mac-Laubjn, als we hem als 
biezonder geval stellen tegenover het algemene teorema van Taylor, dat we in 
No. 19 zullen behandelen. 
