815 
tot (/?) behoren, gemeen heeft. Hierbij is ruimte gelaten voor de 
mogelikheid dat niet alle funksies die tot (ft) behoren, deel uitmaken 
van F(T). Mocht dit geval zich echter voordoen, dan levert de reeks 
P natuurlik onmiddellik de „analitiese voortzetting” van T over het 
funksionele veld gevormd door de bedoelde funksies. Iedere definitie 
van T, voor deze funksies, die tot een andere uitkomst voerde, zou 
van T een transmutatie maken, die voor het uitgebreide F. V . niet 
langer /continu was. Dit zit hierin dat een funksie van het er bij- 
komende F. V. de limiet is, in het gebied (,3), van de fundamentaal- 
reeks (26), waarvan alle funksies reeds deel uitmaken van het 
onaangevulde F. V. Dus geldt weer voor zo’n funksie, in ’t gebied 
(a), de vergelijking (27) 
7’ ( ƒ ,„ (•»)) = P {<( m (#)), ...... (27) 
waaruit we ditmaal echter door limietovergang afleiden 
lim T {(f> m {x)) — P (w), (28a) 
m~cc 
de tegenhanger van (2b). Wil men nu echter aan T zijn kontinui- 
teitseigenschap in het uitgebreide F. V. laten houden, dan dient men 
het linkerlid gelijk te laten zijn aan Tu. Immers, is dan is 
de funksie u, die in het gebied (,7) de limiet van de fundamentaal- 
reeks (26) is, dit a fortiori in (o). En zo ,? <( a, en men wil alle 
funksies die tot (/?) behoren, in het nieuwe F. V. van T opnemen, 
dan is niet langer (n), maar (,3) het numerieke veld van de funksies, 
zodat men toch weer in dit laatste heeft u — lim 
16. We passen het ,,teorema van Mac-Laurin” vooreerst toe 
op de operatie T— D ~ l , die een funksie u transformeert in de 
integraal van die funksie, genomen van uit x = x ü als beginpunt. 
Dit is een normale additieve transmutatie. Want ten eerste levert 
hij voor alle funksies die tot een zekere sirkel <ji) behoren, funksies 
op die tot diezelfde sirkel behoren, waarmee aan de voor waarden 
onder 1° en 2° voor een normale additieve transmutatie voldaan is 
(met a = o). En vervolgens is hij /continu in het hierbij betrokken 
veldpaar ; immers, bij ieder willekeurig klein getal r is er een 
getal ó, zodanig dat in het hele veld (rd 
D~ 1 {u) <f t, als M a < d, 
waarin M u de maksimummodulus van u is in datzelfde gebied («), 
dat hier zowel het N. V. F. als het N. V. O. van T vertegenwoor- 
digt. A fortiori is D~ l kontinu, t.o.v. hetzelfde N. V. («), in ieder 
F. V. van funksies die tot een grotere sirkel dan («) behoren. 
Voor de konstruksie van de reeks P heeft men, eenvoudigheids- 
halve x 0 = 0 aannemende, 
