nog voor alle waarden van x in het gebied («) een limiet heeft voor 
m = go, terwijl er bij sommatie volgens rijen, als deze oneindig zijn, 
niet voor al dergelijke waarden een limiet bestaat. Er komt 
x 
Urn I (ff m (,?;) ) — 
lil co 1 X 
overeenstemmende met liet rechterlid van (33). Hiermee is de alge- 
mene formule (28), volgens welke Hm P <f m (x) in het hele F. V. 
van T, dus eventueel ook buiten het F. V. van P, bestaan moet 
en gelijk zijn aan Tu , in dit biezondere geval direkt bewezen. 
17. Als tweede voorbeeld beschouwen we de substitutie. Zij 
v) (x), of kortweg co de funksie die voor x in de plaats gesteld 
wordt, en nemen we weer als N. V. van T= S w een omgeving 
van O ; we moeten dan onderstellen dat O een gewoon punt is van 
co(,r) en dat het N. V. van Sc, een gebied is binnen de konvergentie- 
sirkel {A) van co, b.v. een sirkel met straal a <j A. Om te zien, 
welke groep van funksies in («) een getransmuteerde hebben, 
beschouwen we het korresponderende gebied 52 van («), dat door 
afbeelding met behulp van de betrekking x' = oj(x) verkregen wordt 
en een gebied rondom het punt x = co(0) is. De maksimummodulus 
van dit gebied zij er, dan levert >Sk voor alle funksies die tot de 
sirkel (a) behoren, een ondubbelzinnig bepaalde getransmuteerde v(x) 
in het gebied («). Deze getrans muteerden behoren tot de sirkel («); 
daar we nl. hebben 
v (x) - S,,> (u (,/;)) — u [co (,■?;)] , 
volgt uit de bekende teorie over funksies van funksies dat v{x) 
regulier is in 't gebied («), met inbegrip van de omtrek. Aan de 
voorwaarden onder 1° en 2° voor een normale additieve transmu- 
tatie is dus voldaan. Verder is S 0 > kontinu in het betrokken veld- 
paar: nadert u (x) in het N. V. F, d.i. het gebied (cj), tot nul, dan 
is dit a fortiori in het gebied 22 het geval, dat binnen (o) ligt, 
d.w.z. dan nadert v (x) — u [co (xf in het N. V. O. («) tot nul. 
De transmutatie S 0 > is dus normaal. Voor de konstruksie van de 
kon*esponderende reeks P heeft men f n — co" 1 , hetgeen, gesubsti- 
tueerd in (24), geeft 
a m — (co — x) m 
Aan S rj> (u) beantwoordt dus de ,. reeks van Mac-Laürim” 
