819 
P [u) = 
(<U x) m 
t m — 
d m ) . 
De funksies a m (x) zijn regulier in («), omdat aangenomen was dat 
« kleiner is dan de konvergentiestraal A van co(«); het getal 
a x = lim a m \ m — cu — x \ 
m = oo 
is geborneerd in («) en zijn bovenste grens is 
o, (cr) = co p m ) — x ni 1 , 
als x M het punt op de omtrek van («) is, waar a x zijn maksimum 
bereikt. De reeks Pu stelt dus een transmutatie voor die volledig 
o 
is in (a), met een korresponderend gebied (d), waarvan de straal 
bepaald wordt door 
P U j - CU ( Xjjij — X/)i . 
Het F. V. van P is meestal een onderdeel van dat van S», omdat 
gewoonlik di> ( >- Want men heeft in ’t algemeen . als x 7 hel punt 
is, op de omtrek van («), waar co ( x ) zijn maksimummodulus o aanneemt 
d— \ x m + <» ) — X m \ > \x,\ -j- CU pA - x 7 \ 
A> '\X a -(- CU (xA — #<r = a' PA — (J. 
Heeft echter co p m ) hetzelfde argument als x m , dan is d=z\ai{x m )\‘, 
de uitkomst [s j> o of 
cu (x m ) j> mpA 
zou dan in strijd zijn met de betekenis van cu pA; in dit geval 
moeten dus de punten x m en x n samenvallen, en evenzo de sirkels 
(n) en (/?), zodat nu het F.Y. van P presies gelijk is aan dat van S 0 >. 
In ieder geval maken dus alle funksies die tot (,•?) behoren deel 
uit van het F.V. van S ; volgens het door ons bewezen teorema, 
heeft men dus voor die funksies, in het gebied (o.) 
S,j, (u) — P (w). 
Nu hebben we, bij de bespreking van een voorbeeld van deze 
reeks P, in N°. 7 (2e mededeling), al opgemerkt dat hij onmiddellik 
uit het gewone teorema van Taylor van de funksieteorie kan wor- 
den afgeleid. Inderdaad, schrijft men 
S 0i (u) — u [co («*?)] — u [,?; 4- (cu p) — x)\ , 
dan blijkt dat men u op de plaats x x van het gebied («) in de 
reeks van Taylor, 
