820 
S„> 
(<’> Oi) ~ x 1 ) m 
y m . — 
f)l l 
o 
F 11 ' (A,), 
kan ontwikkelen, indien de sirkel met x 1 tot middelpunt en 
I (,j K) — «i ! 
tot straal binnen het konvergentiegebied van u (a) ligt. Maar dit is 
blijkbaar juist het geval, als u behoort tot de sirkel met 0 tot 
middelpunt en 
$ — D {j^m ) ® ni | 
tot straal, gezien de betekenis van x m . We krijgen dus dezelfde 
uitkomst als boven, zodat het teorema van Taylor voor de funksi- 
onaalrekening , in geval de operatie een substitutie is, on middel lik uit 
datzelfde teorema voor de fwiksieteorie afgeleid kan worden. 
Nu dit gebleken is, komt het feit dat het teorema van Taylör 
voor de funksionaalrekening juist geldig is, als de betreffende reeks 
F een volledige transmutatie voorstelt, nog in een beter licht. Immers, 
voor de /convergentie van een reeks is alleen het gedrag van de 
oneindig verre termen beslissend, en nu kan men zeggen dat iedere 
reeks van de bedoelde aard zich in zijn oneindig verre termen in 
zekere zin als een substitutie gedraagt. Daar nl. 
i 
a x — Urn \ a m J m 
W = X 
heeft men voor grote m ongeveer (altans voor een oneindig aantal 
termen) 
I - m 
' Um =z 
zodat, in een bepaald punt x, de modulus van de grootheid a m zich 
voor grote waarden van m als de m e macht van een pozitief 
getal a x gedraagt. Dit nu is ook bij de substitutie het geval, waar 
dit getal a x —\w{.r) — x\ is; alleen is hier het bedoelde gedrag 
reeds van de eerste waarden van m af aanwezig. 
Het gebied waarin de met een transmutatie korresponderende 
reeks P voor zekere funksie u kon vergeert, is uit de aard van de 
zaak kleiner dan de konvergentiesirkel (r) van u, en wel omdat de 
reeks P voortschriidt naar machten van Du. Is dus het numerieke 
operatieveld («) van T groter dan het numerieke veld van de funk- 
sies (u), dan zal Pu niet overal in («) bestaan voor die funksies van 
F {T) die wel tot (o), maar niet tot («) behoren. Maar de limiet- 
bet rekking (28), 
