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für den 5. Transformatioiisgrad wirklich durch. Die Modulargleichung ist 
vom 6. Grade, nennt man ihre Wurzeln in bestimmter Reihenfolge 
^ 2 ’ '^ 3 ’ '^ 4 ’ und setzt y =={Vq — Voq) {v^ — {v^ — z^g), so leistet y einer 
Gleichung 5. Grades Genüge, die unmittelbar auf die bekannte Jerrard- 
Bring’sche Form zu reduciren ist. Damit war das lange vergeblich unter- 
suchte Problem gelöst, die Auflösung der allgemeinen Gleichung 5. Grades 
in glänzender Weise zu Ende geführt. Die Hermite’sche Entdeckung 
traf sich mit einer von Kronecker. Schon im Juni desselben Jahres 
th eilte letzterer H er mite mit, dass er sich vor zwei Jahren mit ähnlichen 
Untersuchungen beschäftigt habe und gab eine zweite Lösung desselben 
Problems. Mit diesen beiden Arbeiten, denen sich sehr bald solche von 
Brioschi anschlossen, war der Weg für die mächtige Entwickelung ge- 
ebnet, welche die Theorie der Gleichungen 5. Grades seither gefunden hat. 
Auch nach anderer Richtung hin zeigte sich die Beschäftigung mit 
den Modulargleichungen für die Algebra von grosser Bedeutung. Es ge- 
lang Hermite im Jahre 1859 die Discriminantengleichungen derselben 
wirklich aufzulösen und damit eine neue Kategorie von Gleichungen höheren 
Grades der Rechnung zugänglich zu machen. Der Grundgedanke dieser 
Auflösung beruht darin, dass zu gleichen Moduln der elliptischen Func- 
tionen Werthe der Thetaparameter gehören, die in einer linearen Bezieh- 
ung zu einander stehen. Hermite hat diesen Satz seiner Arbeit aus dem 
Jahre 1859 stillschweigend und ohne Beweis zu Grunde gelegt, im Jahre 
1877 kommt er in einem Briefe an Herrn Fuchs auf denselben zurück und 
zwar mit folgenden Worten: ,,N’y aurait il point lieu d’observer qu’en 
faisant = il resulte de votre analyse que toutes les Solutions de 
l’equation f {H) = f {Ho) soht donnees par la formule H — ^ 
en insistant sur Fextreme importance de ce resultat, pour la deter- 
niination des modules singuliers de M. Kronecker, et en remarquant que 
les belles decouvertes de l’illustre geometre, sur les applications de la 
theorie des fonctions elliptiques ä Tarithmetique paraissent reposer essen- 
tiellement sur cette proposition, dont la demonstration n’avait pas encore 
ete donnee?“ 
Wir stehen hier bei einem der folgenschwersten Punkte in der Ent- 
wickelung der heutigen Functionentheorie. Noch in demselben Jahre 1877 
erklärte Herr Dedekind in seiner fundamentalen Arbeit über die Modul- 
functionen jenen Satz als die Grundlage seiner Theorie. Sie alle wissen, 
welchen grossartigen Aufschwung diese und ähnliche Theorien in den Händen 
der ersten Mathematiker unserer Zeit sowie ihrer Schüler genommen haben 
und da dürfte es von Interesse sein hervorzuheben, dass Hermite den 
fundamentalen Lehrsatz unabhängig von Kronecker schon im Jahre 1859 
benutzt und im Jahre 1877 zuerst auf seine Bedeutung öffentlich aufmerk- 
sam gemacht hat. 
Weitere Anwendungen 'der elliptischen Functionen beziehen sich auf 
die Zahlentheorie. Auf derartige Anwendungen hatte schon Jacobi in den 
Fundamenten und später in einer Arbeit im 37. Bande des Crelle’schen 
Journals aus dem Jahre 1848 hingewiesen. 
Im Jahre 1859 eröffnete Kronecker ein neues Gebiet unerwarteter 
Beziehungen und erweiterte dasselbe in den Jahren 1862 und 1875. Er 
zeigte nämlich, dass mit Hülfe der complexen Multiplication der elliptischen 
