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Functionen eine Reihe merkwürdiger Beziehungen, zwischen den Classen- 
zahlen gewisser quadratischer Formen hergestellt werden können und gab 
eine eigenartige Darstellung von drei Producten von je drei Thetafunc- 
tionen mit Hülfe der unendlichen Reihen. An diese Arbeiten von Kronecker 
knüpfen eine Anzahl von Arbeiten von Her mite an, und zwar stammen 
die ersten aus den Jahren 1861 und 1863, während die letzten in das Jahr 
1884 und später fallen. Die Grundlage von Hermite ist eine wesentlich 
andere als bei Kronecker. Er legt die Theorie der doppelt periodischen 
Functionen dritter Art zu Grunde und zwar insbesondere die Entwickelung 
in Fourier’sche Reihen. Indem er eine und dieselbe Function auf mehr- 
fachem Wege darstellt und die Integral theorie hinzunimmt, erhält er durch 
einige wenige geschickte Operationen die vorhin genannten Kroneck er- 
sehen Resultate. Hermite geht aber noch über 'dieselben hinaus. Er 
zieht auch weitere Producte von Thetafunctionen in Betracht und zwar 
von drei und fünf Factoren und bestimmt mit ihrer Hülfe, wie oft eine 
ganze Zahl als Summe von drei und von fünf Quadraten dargestellt werden 
kann. Auch sonst enthalten die diesbezüglichen Arbeiten noch viele neue 
Resultate zahlentheoretischer Natur. Bei allen diesen Arbeiten sind vor 
allem die schönen und durchsichtigen Methoden zu bewundern, welche die 
neuen arithmetischen Sätze von vorneherein in ein eigenartiges und helles 
Licht setzen. 
Die dritte Anwendung der elliptischen Functionen bezieht sich auf die 
Theorie der Differentialgleichungen. Aufgaben aus der Wärmelehre führten 
Lame zu einer Differentialgleichung zweiter Ordnung, die neben einer 
ganzen positiven Zahl n noch einen willkürlichen Parameter h enthielt. Es 
gelang Lame ein Integral dieser Gleichung zu finden, wenn h in bestimmter 
Weise gewählt wird, Liouville und unabhängig von ihm Heine haben 
für dieselben Werthe von h das zweite Integral bestimmt. 
An diese Arbeiten knüpft Hermite an und findet im Jahre 1872 für 
einen beliebigen Werth von h die beiden Integrale der vorgelegten Gleichung 
und zwar mit Hülfe der von ihm eingeführten doppeltperiodischen Functionen 
zweiter Art. Hermite hat seine Resultate im Jahre 1872 zunächst nur einem 
kleineren Kreise zugänglich gemacht, erst im Jahre 1877 wurden sie durch 
Veröffentlichung in den Comptes Rendus weiteren Kreisen bekannt. Auch 
hier begegnet er sich mit den Arbeiten eines deutschen Mathematikers 
und zwar von Herrn Fuchs. Letzterer legte in demselben Jahre 1877 
seinen diesbezüglichen Untersuchungen die Theorie gewisser allgemeiner 
Differentialgleichungen zweiter Ordnung zu Grunde, mit denen er sich schon 
früher beschäftigt hatte und gelangte durch Umkehrung der Integrale zur 
Integration der Lame’schen Differentialgleichung im Hermite’schen Sinne. 
Mittlerweile hatten auch andere Mathematiker diesem interessanten Gegen- 
stand ihre Aufmerksamkeit zugewandt, vor allem war es wieder Brioschi, 
neben ihm die Herren Mittag-Leffler und Picard. In enger Fühlung 
mit ihnen gelang es Hermite noch weitere Differentialgleichungen mit 
doppeltperiodischen Coefficienten der Integration zugänglich zu machen. 
Alle die soeben skizzirten Hermite’schen Untersuchungen, die im Jahre 
1885 in einem eigenen Werke zusammengefasst wurden, sind verwoben mit 
der Lösung einiger mechanischer Probleme und zwar des Jacobi’schen Ro- 
tationsproblemes, des Problemes der Gleichgewichtsfigur einer elastischen 
Feder und des sphärischen Pendels, die alle drei mit Hülfe der doppelt- 
periodischen Functionen zweiter Art zu Ende geführt werden. Das ge- 
