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immer weitere und weitere Kreise und eröffnen dem Vierunddreissigjährigen 
die Hallen der französischen Academie. 
Die Arbeiten arithmetischen Charakters setzen ungefähr im Jahre 1850 
ein. Ihr Zweck war es, zunächst die Annäherungsmethode schärfer zu 
untersuchen, die Jacobi in seiner bekannten Arbeit über die Unmöglich- 
keit von Functionen einer veränderlichen Grösse mit mehr als zwei Perioden 
aufgestellt hatte. Her mite überzeugte sich bald, dass diese Fragen, sowie 
eine grosse Anzahl ähnlicher von der Keduction der quadratischen Formen 
abhängig zu machen ist. „Mais une fois arrive ä ce point de vue“, so 
schreibt er im Jahre 1850 an Jacobi, „les problemes si vastes que j’avais 
cru me proposer, m’ont semble peu de chose ä cote des grancles questions 
de la theorie des formes, considerees d’une maniere generale.“ Auf diesem 
Wege gelangt er zu der arithmetischen Theorie der Formen und traf sich 
hierbei mit den Arbeiten von Gauss, Eisenstein, Jacobi und Anderen. 
Her mite untersuchte zunächst die quadratischen Formen mit beliebig 
vielen Veränderlichen. Er führte sie auf gewisse reducirte Formen zu- 
rück und wies nach, dass die Classenanzahl bei vorgelegter Determinante 
und ganzzahligen Coefficienten eine endliche ist. Für den Fall der in- 
definiten Formen war hierbei eine grosse Anzahl von Schwierigkeiten zu 
überwinden, die er in geistvollster Weise löste. Er führte dazu unter 
anderem den Begriff der continuirlichen Veränderungen in die Formen- 
theorie ein und gab damit eine Reduction von Fragen über ganze Zahlen 
auf Fragen rein analytischen Charakters. Auch das Problem, die Trans- 
formationen einer Form in sich selbst zu finden, musste in Angriff ge- 
nommen werden. 
In ähnlicher Weise wird die Theorie der Formen von beliebigem Grade 
untersucht, welche in lineare Factoren zerfällt werden können. Hier findet 
Her mite jenen schönen Satz über die vertauschbaren ganzzahligen Trans- 
formationen einer Form in sich, welche die Theorie derselben auf die Po- 
tenzen von Transformationen zurückführt. 
Auch die Hinzunahme complexer Grössen zeigt sich von schwerwie- 
gender Bedeutung. Hermite führte zuerst die nach ihm benannten bilinearen 
Formen mit conjugirt complexen Veränderlichen ein und gab damit die 
Grundlage für weitgehende neuere Untersuchungen, unter denen vor allem 
diejenigen von Herrn Picard zu erwähnen sind. Daneben gelang es ihm, 
die schönen Sätze von Jacobi über die Zerlegung ganzer Zahlen in die 
Summe von vier Quadraten von neuem zu beweisen. Auch die Theorie 
der in Linearfactoren zerlegbaren Formen beliebigen Grades mit ganzen 
complexen Coefficienten wurde in den Bereich der Betrachtungen gezogen 
und gab Anlass zu dem berühmten Satze, dass die Wurzeln der algebra- 
ischen Gleichungen mit ganzen complexen Coefficienten und gleicher Dis- 
criminante sich durch eine begrenzte Anzahl von einander verschiedener 
Irrationalitäten ausdrücken lassen. 
Glänzend waren die Anwendungen auf die Algebra. Es gelang ihm, 
das Sturm’sche Problem über die Anzahl der reellen Wurzeln einer 
algebraischen Gleichung zwischen vorgelegten Grenzen auf Grund des 
Trägheitsgesetzes der quadratischen Formen in einer eleganten Form zu 
lösen. Herr Weber hat diese Lösung in seiner Algebra dem deutschen 
Publicum allgemein zugänglich gemacht. Auch algebraische Gleichungen 
mit complexen Coefficienten werden betrachtet. Hermite associirt den- 
selben gewisse quadratische Formen und kommt damit zu Resultaten, 
