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Das entsprechende Glied der Originalfunction lautet 
2 x 7 ^ , , 7 2ktz . 
1 4- Oy COS t. 
' n 
Pk fl 
Und wenn man hier setzt 
so wird 
2x7t: 
(Xy T dy ~1~ ^X • ^X tdTig 
il 
. 2 
X7C 
Fy = Xy sin {t + Ty) 
n 
und man sieht sofort, dass man auch erhält 
Fy = (i?, x) ay sin (^ + T;, + T^O- 
fb 
Man hat also 
2 X TC 
yt = a() + ^ cLy sin {t + 'Zy) 
X n 
Yt,p~ao-\- — '2 (Pj x) (Xy sin (^ + '^x + '^p)- 
, p X n 
Durch die Gruppenmittelbildung wird also die Periode der Erscheinung 
nicht gestört. Die Phasen sind jeweils um eine Grösse gegen die der 
Originalfunction verschoben. Und die Amplituden werden im Verhältniss 
p 
(p, x) : 1 
verkleinert. Aus der Definition von (j9, x) folgt übrigens 
wonach also für 
(n, x) = 0, 
p^n 
Yt, n = d/Qj 
was nichts Anderes ist, als der vorhin gegebene Satz, da die Grösse do 
dem zu ihrer Berechnung führenden Vorgänge gemäss nichts Anderes ist, 
als die oben als theoretischer Werth eines ^-jährigen Mittels bezeichnete 
Grenze. 
Indess ist dies nur ein beiläufiges Ergebniss. Der Nutzen der ganzen 
Ueberlegung liegt in der Einsicht, dass in den Grössen Y die Amplituden 
der y mit den Factoren (p, x) multiplicirt erscheinen. Denn dadurch 
wird der Hinweis gegeben, dass die Gruppenmittelbildung keineswegs eine — 
wenn auch nur theilweise — nutzlose Arbeit bedeutet. Man wird im 
Gegentheil dies Verfahren noch viel mehr anwenden können, allerdings 
nach einem gewissen ordnenden Gesichtspunkte. 
Die Untersuchung einer periodischen Erscheinung wird zweifellos er- 
leichtert, wenn es gelingt, bestimmte vorgegebene Einzelwellen aus der 
Erscheinung auszuschalten. Dies ist aber mit Hülfe der Gruppenmittel 
möglich. Denn man sieht leicht, dass für ein gegebenes n die Zahl p 
sich immer so wählen lässt, dass (j7, x) genau oder wenigstens sehr an- 
nähernd verschwindet, (xj? genau oder sehr angenähert gleich n). Beachtet 
man dann ferner, dass die Amplituden a^, . . . eine abnehmende Reihe 
darstellen, so wird insbesondere die Gruppe von Werth sein, durchweiche 
