1026 
Wiskunde. — De Heer Jan de Vries biedt een mededeeling aan 
van den Heer Chs. H. van Os, getiteld: „Over de hiquadra- 
tische ruimtekrommen door acht geassocieerde punten” 
(Mede aangeboden door den Heer W. Kapteyn). 
Laten gegeven zijn acht geassocieerde punten Bk = J , 2,.., 8), 
de basispunten van een net [«/>^] van qnadratische oppervlakken 
Door deze punten gaan co^ biquadratisclie ruimtekrommen de 
basiskrommen van de bundels («/>") uit dit net. Van dit stelsel zullen 
hier enkele eigenschappen onderzocht worden, welke analoog zijn 
aan de eigenschappen van bundels vlakke kubische krommen, die 
onderzocht zijn door Prof. Dr. Jan de Vries ^). 
§ 1. Een plat vlak V snijdt een bundel uit het net volgens 
een bundel (r/j^ van kegelsneden ; de basispunten van den bundel 
PpO zijn de snijpunten van het vlak V met de basiskromrae van 
den bundel (00- Nemen wij nu voor het vlak V een stationair 
osculatievlak, d. i. het osculatievlak .t in qqw buig punt I der l^vommQ 
pk De vier genoemde snijpunten vallen nu samen: de kegelsneden 
van den bundel (r/)^) hebben in het punt I een aanraking van de 
derde orde. Tot dezen bundel behoort dus ook de dubbel getelde 
raaklijn t in het punt I. Eén der oppervlakken van den bundel (0^ 
wordt door het vlak volgens twee samenvallende rechten gesne- 
den; dit oppervlak moet dus een kegel zijn, die het vlak jr tot 
raakvlak heeft. De stationaire osculatievla.kken der krommen p^ zijn 
dus de raakvlakken der kegels van het net [0"]; de raaklijnen in de 
hidqpunten zijn de bjbehoorende beschrijv enden. 
Deze raaklijnen t vormen een congruentie (4, 12). Immers, een 
willekeurig punt P bepaalt uit het net [ 0 ^] een bundel (0"); daar 
deze vier kegels bevat, gaan door het punt P vier beschrijvenden t. 
En de toppen der kegels van het net [0^] vormen een ruimte- 
kromme p® van den zesden graad; een plat vlak V bevat dus de 
toppen van zes kegels uit het net, welke elk volgens twee beschrij- 
venden worden gesneden. 
Elk der vlakken zal hoee krommen p^ in buigpunten 1 oscu- 
leeren. Zulk een vlak snijdt nl. het net [ 0 ^] volgens een net 
van kegelsneden, dat de dubbel getelde rechte t bevat. Een punt 
P van t bepaalt uit het net [ 9 ^] een bundel (r/k, waarvan alle 
exemplaren elkaar raken in het punt P en in een tweede P' der 
rechte t. De puntenparen {P, Pj vormen blijkbaar een involutieP; 
1) Deze Vers), dl. XXII, p. 1385. 
