1121 
ééne geldt ; de graad van 12 is dus : 
m =: 2[x d- — 1) ~ 2i.d of = 2fx 4 2v. 
Wij kunnen echter ook gemakkelijk de doorsnede van 12 met het 
oneindig verre vlak der ruimte bepalen. Deid^eri wij een willekeurig 
punt van met verbonden, dan gaan door de verbindings- 
lijn — 1) raakvlakken van k''-; de vei-bindingslijnen der raak- 
punten met zijn de beschrijvenden van 12 die door dit punt 
gaan ; is dus voor 12 eene n{ii — 1)- of v-voudige kromme. 
Maar verder bezit h'- p oneindig verre punten, wier raaklijnen 
in die punten zelve ontmoeten; de verbindingslijnen dier punten 
met zijn dus beschrijvenden van 12, en wel dubbele beschrij- 
venden, omdat zij in twee piuiten snijden. 12 bevai dus in het 
oneindige ii dubbele beschrijvenden, nl. de verbindingslijnen van Z^ 
met de oneinêig verre punten van en hieruit volgt dat wij ook 
nu weer voor den graad m vinden ; 2^u (fx — l) -[- 2,u = Tevens 
merken wij op dat Z^, als snijjmnt van p dubbele beschrijvenden, 
een 2p-voudig punt van 12 is. 
§ 2. Wij willen nu den invloed nagaan dien de in de vorige § 
voorloopig gelijk nul gestelde singulariteiten rf, y., i, r, e, o hebben ; 
dat het noodzakelijk is deze te beschouwen volgt o. a. hieruit dat 
reeds in de twee eenvoudigste gevallen die denkbaar zijn, nl. indien 
k''- eene rechte lijn of een cirkel is, het getal voor den graad 
van 12 onjuist blijkt te zijn; voor de rechte lijn toch is 12 blijkbaar 
het vertikale vlak door die lijn, dus ?7i = i, en voor den cirkel, 
zooals bekend is, de éénbladige om wentelingshjperboloïde met dien 
cirkel als keelcirkel, dus m = 2, terwijl 2;i'^ zou geven 2, en respec- 
tievelijk 8. De afwijkingen zijn in beide gevallen gemakkelijk te 
verklaren. Het platte vlak moet blijkbaar dubbel geteld worden, 
omdat door ieder punt er van twee 45°-lijnen gaan; voor de omwen- 
telingshyperboloïde geldt hetzelfde, maar hier gaat nu bovendien de 
cirkel door de beide punten zoodat f = l is, en dus de 
invloed van 6 moet worden nagegaan. 
Denken wij uit eene raaklijn t aan k^'- getrokken, dan moeten 
wij volgens § 1 het i'aakpunt P met verbinden ; gaat nu echter 
h'^- zelve door 1^^, en is t de raaklijn in dit punt, dan wordt de 
lijn Ply^ in het vlak door t en Z^ onbepaald, zoodat zich dein 
dit vlak gelegen waaier met top afsplitst, en wel tweemaal, 
omdat de raaklijn t voor twee samenvallende raaklijnen van geldt ; 
telken male dus dat kr- door eén van de cyclische punten gaat zon- 
dert zich van £2 een waaier, tweemaal geteld, af. Nu was in ons 
voorbeeld hierboven e = 1, dus zonderen zich twee vlakken, elk 
