1 J 22 
dubbel geteld, van af; de graad van het volledige oppervlak was 
8, en wordt dus terug gebracht op 4, zooals de dubbel te tellen 
omwentelingshyperboloïde vordert. 
Behalve s is ook het getal g (aantal raaien dat h' de reclite 
van aanraakt) van invloed op den graad van het ,, eigenlijke” 
oppervlak 52, zooals geraakkelijk blijkt uit de volgende beschouwing. 
Volgens § 1 kan het grondvlak /3, behalve de dubbelkrorarae h'-, 
slechts isotrope beschrijvenden van 52 bevatten; nu gaan door 
slechts V — 2e — j raaklijnen die hun raakpunt niet op hebben, 
dus liggen er in (3 slechts 2(y — 28 — a) isolrope beschrijvenden; kun- 
nen Avij dus nog aantoonen dat zelve niet tot het eigenlijke 
oppervlak behoort, dav, is hiermede bewezen dat de graad van S2,is-. 
m =■ 2{{i -f r — 2e — o). 
Wat nu aangaat kunnen wij het volgende opraerken. Wij hebben 
iedere raaklijn t van ks met te snijden, het snijpunt raet te 
verbinden, en de beide snijpunten dezer verbindingslijn en te 
verbinden raet het raakpunt van t-, valt nu t raet samen, dan 
blijft het raakpunt bepaald, het snijpunt raet niet, en zoo kunnen 
wij dus het raakpunt verbinden raet ieder punt van 1'^, om steeds 
eene rechte te vinden die wel tot de volledige meetkundige plaats 
maar niet tot het eigenlijke oppervlak 52 behoort; dit is de reden 
Avaarom ook niet tot 52 behoort. Wèl tot 52 echter behoort de 
verbindingslijn van het raakpunt van en h' met zooals 
gemakkelijk is in te zien indien men de raaklijn t tot laat 
naderen. Men overtuigt zich dan tevens dat bij de limiet tAvee 
beschrijvenden in deze lijn samenvallen, overeenkomstig hare beide 
snijpunten met zoodat zij eene dubbele beschrijvende is, maar 
heeft bovendien te bedenken dat zij, zelfs als dubbele beschrijvende, 
tAveernaal in rekening te brengen is, omdat /f“ met twee oneindig 
dicht bij elkaar liggende punten gemeen heeft, en voor het eene 
punt hetzelfde geldt Avat voor het andere geldt; men kan zeggen 
dat zij eene dubbele torsaallijn is, terAvijl het raakvlak beide malen 
met e^ samenvalt. 
Dit Avordt nog duidelijker indien wij ook eens een geAvoon snij- 
punt van ks- met beschouwen. Door een punt P van h'- tot 
te laten naderen overtuigt meu zich onmiddellijk dat eene 
dubbele beschrijvende van 52 is, en ook nu weer eene dubbele 
torsaallijn, echter met een raakvlak dat de raaklijn in aan k,,, 
bevat; komen nu twee . punten oneindig dicht naast elkaar te 
liggen, dan komen ook twee dubbele beschrijvenden oneindig dicht 
naast elkaar te liggen. 
Deze beschouwingen stellen ons nu bovendien in staat den liiei’- 
