1123 
boven gevonden graad m van 12 met behulp van het oneindig verre 
vlak der ruimte te controleeren. De doorsnede nl. van dit vlak met 
12 bestaat uit de navolgende stukken : 
a. de 2ö’, twee aan twee oneindig dicht bij elkaar liggende, dub- 
bele beschrijvenden, afkomstig van de o raakpunten van /^'" inet/^; 
b. de p — 2e — 2ö dubbele beschrijvenden, afkomstig \an de enkel- 
voudige snijpunten van /t'-'^j^^met /^; 
c. de kegelsnede Dit is eene (r — ö)-voudige kromme van het 
oppervlak, want verbindt men een willekeurig punt van met 
Z^, en snijdt de verbindingslijn met /^, dan gaan door het snijpunt 
V — a raaklijnen aan h"-, wier raakpunt niet in het oneindige ligt, 
dus door v — a beschrijvenden van 12. 
Met behulp van het oneindig verre vlak der ruimte vinden wij 
dus voor den graad van 12 : 
m = 4 n -f 2 (p - 2 e — 2 o) + 2 (r — n) = 2 (p -f r — 2 e - n). 
Aangezien de punten /j^, eveneens op h' liggen, zelfs als 
e-voudige pnnten, zou men verwachten dat ook de twee rechten 
Z^ op 12 lagen; dit is echter niet zoo, en wel omdat 
deze lijnen aanraken in plaats van snijden, Laat men, langs één 
van de s takken van F'- die door gaan, een punt P met raak- 
lijn t tot naderen, dan leert de directe aanschouwing dat, aan- 
gezien de snijpunten met F^ van de lijn die met het oneindig 
verre punt van i verbindt, tegelijk met F tot naderen, de beide 
beschrijvenden door P tot limietstanden naderen die niet mQi P^Z^ 
samenvallen. Door 7^^, gaan dus telkens r — 2e — a beschrij- 
venden die in liggen, en 2e andere, die niet in ^4 liggen, maar 
ook niet door Z^ gaan; in het geheel dus v — n, evenals doorleder 
ander punt van F^. 
Van de p — 26 dubbele beschrijvenden door liggen er p — 26 — 2n 
geïsoleerd, terwijl de 2 ö overige twee aan twee samenvallen ; dit is 
van invloed op de multipliciteit van het punt Z^, opgevat als punt 
van het opper\ lak. Terwijl nl. in het algemeen door een punt, waar 
twee dubbele beschrijvenden, of algemeener twee dubbelrechten, 
samenkomen, vier bladen van het oppervlak gaan, en dit punt dus 
een viervoudig punt voor het oppervlak wordt, gaan door het snij- 
punt van twee oneindig dicht bij elkaar liggende dubbele beschrij- 
venden slechts twee bladen, nl. eenvoudig die twee die elkaar langs 
die beschrijvenden aanraken ; het gevolg hiervan is dat eene wille- 
keurige rechte door Z^ het oppervlak daar niet snijdt in 2 (p — 26), 
maar slechts in 2 (p — 26 — 2 ö) - j- 2(J = 2 (p- — 26 — a) punten, zoodat 
Z^ voor ons oppervlak een 2 (p — 26— (tj-voiidig pimt is. De o paren 
samenvallende dubbele besclirijvenden zijn torsaallijnen van i2, en wel 
