1125 
de bolle zijde van den cylinder die h' nit het pnnt projecteert. 
In een dubbelpunt D van h' komen 4 bladen van samen, die 
elkaar twee aan twee in 6 takken der volledige dubbelkromme 
van 52 snijden; twee van deze belmoren echter tot h'-, zoodat er 4 
overblijven, die tot de restdubbelkromme behooren, tioee aan twee eikaars 
spiegelbeeld zijn ten opzichte van [3, en cdle in D dezelfde [vertikale) 
raaklijn hebben. Aangezien eene ruimtekromme, die in D eene 
vertikale raaklijn heeft, zich op ,1 projecteert als eene vlakke kromme 
met een keerpunt in D, en de 4 takken der dubbelkromme twee 
aan twee symmetrisch liggen ten opzichte van ^1, zal de projectie der 
restdubbelkromme op d in D 2 keerpunten vertoonen, beide gelegen 
in dat gedeelte van het vlak van waaruit men van de beide takken 
van k's de bolle zijde ziet. Elk van de 4 takken van de projectie der 
restdubbelkromme die in D samenkomen is meetkundige plaats van 
punten van waaruit aan k's twee even lange raaklijnen getrokken 
kunnen worden, en deze raaklijnen raken steeds de beide takken, 
niet één en denzelfden tak (waaruit zich het aantal 4 der takken 
ook gemakkelijk laat atleiden) ; zullen nl. twee even lange raak- 
lijnen aan denzelfden tak gaan, dan moeten de twee bladen 
van 52 die door dien tak gaan, en die, zooals wij hierboven zagen, 
elkaar langs dien tak osculeeren, nog eene andere doorsnede gemeen 
hebben, en dit geschiedt slechts, zooals wij zullen zien, in de nabijheid 
van de zoogenaamde toppen van h-, en deze toppen liggen in 
het algemeen niet juist in de onmiddellijke nabijheid der dubbelpunten. 
Onderzoeken wij thans den invloed der keerpunten van k'c . Een 
keerpunt K vei'oorzaakt in 52 2 keerribben, voor elk blad één, en 
gelegen in het vertikale vlak door de keerpuntsraaklijn, en natuurlijk 
onder hoeken van 45° ten opzichte van (5; de schei-pe kanten wijzen 
beide naar dezelfde zijde als de scherpe punt van K. Ten einde nu 
het beloop der restdubbelkromme van 52 in de nabijheid van K te 
ontdekken, vervangen wij eerst even het keerpunt door een dubbel- 
punt D met een klein lusje, en brengen dan eene doorsnede door 
52 aan met een vlak in de nabijheid van D gelegen (maar niet aan 
den kant van de lus), en gemakshalve vertikaal gedacht. Denken 
wij ke in de omgeving van D behoorlijk nauwkeurig geteekend, 
dan laat zich ook de doorsnede van 52 met het snijvlak gemakkelijk 
en voldoende nauwkeurig construeeren ; men vindt twee takken 1 
en 1*, symmetrisch gelegen ten opzichte van d, en evenzoo twee 
andere, 2 en 2*. De takken 1 en 2 snijden elkaar in 2 punten, 
1"' en 2* in de met deze ten opzichte van /? symmetrische, en bij 
verplaatsing van het snijvlak doorloopen deze vier punten twee ten 
opzichte van symmetrische takken der dubbelkromme, die zich 
