1126 
op projeeteeren in ééne kromme met een keerpunt in D, zooals 
hierboven uiteengezet is. En hetzelfde geldt ten aanzien van de takken 
1 en 2*, en respectievelijk 1* en 2. 
Gaat nu echter het dubbelpunt in een keerpunt over, dan sluiten 
zich de takken J en 2 (en symmetrisch en 2’’') aaneen tot een 
keerpunt, gelegen op ééne van de twee hierboven reeds genoemde 
45°-lijnen door K, terwijl het tweede snijpunt willekeurig blijft; bij 
verplaatsing van het snijvlak naar K toe doorloopt dus het eene 
snijpunt de 45°-lijn, echter niet verder dan K, het andere eene 
kromme, die in [v eindigt, en wel, zooals een eenvoudig onderzoek 
zal leeren, met eene willekeurige helling ten opzichte van /ï; de 
continue kromme door D, die in D eene vertikale raaklijn had, is 
dus overgegaan in eene kromme die in K een knik vertoont, en 
die is saamgesteld uit eene werkelijke kromme en een stuk eener 
45°-lijn. En de takken 1®, 2^' leveren nu wel is waar van die wer- 
kelijke kromme het spiegelbeeld, maar aangezien de raaklijn in K, 
zooals wij zullen zien, in het algemeen niet vertikaal is, blijft ook 
hier een knik bestaan. 
Nu wordt echter, aangezien 52 algebraïsch is, iedere discontinuï- 
teit schijnbaar weer uitgewischt, en dit geschiedt hier doordien de 
kromme met vertikale raaklijn in het dubbelpunt, in het geval van 
het keerpunt overgaat in eene kromme met een dubbelpunt in K, 
en waarvan twee takken, die eikaars spiegelbeeld zijn ten opzichte 
van /?, werkzaam, de beide andere parasitisch zijn. 
Nemen wij als eenvoudig voorbeeld de kromme = .r'*, die. het 
voordeel heeft eene symmetrieas te bezitten, zoodat één van de 
takken van de dubbelkromme die door K gaan (of nauwkeuriger 
gesproken twee) in het symmetrieNlak van 52 komt te liggen. Door 
differentiatie vinden wij 2yp = 3cV-, zoodat de raaklijn wordt: 
Y—y 
-y 
deze snijdt de .r-as in het puntX = — . De lengte der raaklijn tns- 
O 
scheii het raakpunt en het snijpunt met de ,r-as wordt dus 
ofl/i.r en indien wij nu deze lengte als z-coördi- 
naat opvatten, en 5 noemen, en dus stellen: 
dan is het punt (?, C) een punt der dubbelkromme. De vergelijking 
van deze kromme wordt dus : 
+ 27 
