1128 
(Ier resUliihhelkromme in de omgeving van K uit 3 takken bestaan die 
(die de keerpuntsraaklijn aanraken. Dit laat zich planimetrisch ook 
weer geinakkelijk inzien. De projectie der beide keerribben is de. 
keerpuntsraaklijn van K, en deze is de meetkundige plaats van de 
middelpunten van alle cirkels die de beide in K samenkomende 
takken van k'e in dit pnnt zelf loodrecht snijden. De beide takken 
der restdubbelkromme die volgens de in de voorgaande § neergelegde 
beschouwingen stereometrisch feitelijk tot de keerribben behooren, 
en deze aanvullen tot krommen met een knik er in, projecteeren 
zich in een tak die alle punten bevat van waaruit twee even lange 
raaklijnen aan h'- gaan die beide van K zijn afgewend; de beide 
andere takken bevatten de pnnten van waaruit de ééue raaklijn van 
K is afgewend, de andere naar K toegekeerd. 
Van de beide 45°-lijnen door K vonden wij in de voorgaande § 
feitelijk telkens slechts de ééne helft, doch ook de andere helften 
hebben hunne beteekenis. Beschouwen wij te dien einde nl.eenseen 
dubbelpunt D met een klein lusje, terwijl de dubbelpuntsraaklijnen 
reeds bijna samenvallen. Doorloopen wij dit lusje van het dubbel- 
punt naar het dubbelpunt, dan zien wij den kromtecirkel eerst 
kleiner, doch later weer grooter worden ; in één punt is hij dus 
minimaal geweest, en dit punt is voor kr een top, d. w. z. een 
punt waar de kromtecirkel 4-puntig raakt, en nu is het gemakkelijk 
in te zien dat van dit punt een tak van de projectie der resldnbbel- 
kromme moet vertrekken; immers indien wij de 4 punten, die hier 
de kromtecirkel met ke gemeen heeft, oneindig dicht bij elkaar 
denken en dan 1, 2, 3, 4 noemen, dan gaan door het snijpunt van 
de lijnen 12 en 34 twee raaklijnen aan h'- die tevens den kromte- 
cirkel aanraken, en dus even lang zijn. Be heide bladen van in 
de nabijheid van een top van ke snijden elkaar dus volgens eene 
ten opzichte van d symmetrische kromme, die in den top zelf eene 
vertikale raaklijn heeft. 
En nn is het wel zonder meer duidelijk dat indien het dubbelpunt 
D in een keerpunt K overgaat, de top van het lusje in K komt te 
liggen, en de zooeven gevonden nieuwe tak der restdubbelkromme 
overgaat in de beide nog niet verantwoorde helften der 45°-lijnen 
door K. 
§ 5. De buigpunten van staan, zooals gemakkelijk te begrijpen 
is, niet in direct verband met de restdubbelkromme. Het vertikale 
vlak door eeue buigraaklijn bevat twee stel onderling evenwijdige, 
en ten opzichte van /I symmetrische, oneindig dicht bij elkaar liggende, 
beschrij veilden, en dit zijn blijkbaar torsaallijnen van ö, doch hebben 
