1129 
met de dubbelkromme niets nit te staan ; daarentegen zijn er in 
nog twee groepen van punten die w^èl tot de restdubbelkromnie 
behooren, en die wij in de voorgaande § nog niet besproken hebben. 
Volgens § 2 gaan door elk der beide absolute punten in het on- 
eindige V — 2 £ — (i raaklijnen aan /c'', en elk van deze ontmoet 
behalve in het raakpunt en het bedoelde cyclische punt, nog in 
H — e -2 andere punten; door het raakpunt gaat geen andere be- 
schrijvende dan de isotrope raaklijn zelve, tweemaal geteld, zoodat 
dit punt niet tot de restdubbelkromnie behoort (het is een klempunt 
van 52, jiatuurlijk echter een imaginair, en langs de isotrope raaklijn 
gaan twee bladen van het oppervlak in elkaar over) ; in elk van de 
!-i — 6 — 2 andere punten echter snijdt het blad, waartoe die isotrope 
raaklijn behoort, de twee bladen die reeds door die andere punten 
gaan, zoodat twee takken der restdubbelkromme voor den dag 
komen, die in zulk een punt met eene vertikale raaklijn door p 
gaan; wij vinden dus de volgende uitkomst. In elk van de "i'qx — e — 2) 
(r — 2e — ö) punten die de raaklijnen uit de heide^ isotrope punten van 
d, behalve deze punten en de raakpunten, nog niet k’e- gemeen hebben, 
gaat de restdubbelkromme met twee, elkaar met eene vertikale raaklijn 
osculeerende takken door d- Natuurlijk zijn al deze punten imaginair. 
Maar verder moeten wij ook nog de punten beschouwen waarin 
de V— 2 e — o raaklijnen uit het isotrope punt de raaklijnen uit 
snijden ; deze punten zijn ten getale van (v — 2 e — oy, en daar- 
onder zijn V — 2 e — o reëele ; het zijn de zoogenaamde brandpunten 
van ke j. Door elk van deze punten gaan twee enkelvoudige bladen 
van het oppervlak, en gaat dus één enkele tak der restdubbelkromme ; 
wij vinden dus: de (v — 2e — ay brandpunten van ke- zijn enkelvoudige 
snijpunten der restdubbelkromme met d- 
Wat de V — 2e — o reëele brandpunten betreft is hier een eigen- 
aardig verschijnsel waar te nemen ; door deze punten gaat, zooals 
wij zagen, één tak der restdubbelkromme, en de raaklijnen in die 
punten zijn vertikaal, dus reëel, zoodat niet slechts de brand- 
punten zelve, doch ook de oneindig dicht daarbij gelegen punten, 
dus geheele takken door die punten, reëel moeten zijn, en dus 
ook op d 1 ‘eëele projecties moeten hebben. Nu spreekt het van zelf 
(men denke bijvoorbeeld aan de kegelsneden) dat noch de brand- 
punten zelve, noch naburige punten middelpunten kunnen zijn van 
cirkels die k'-'- op reëele wijze tweemaal loodrecht snijden, zoodat 
de takken der dubbelkromme door de reëele brand [)unten parasitische 
takken der dubbelkromme zijn, en dit op zich zelf is niets bijzonders. 
1) Cf. Anw. Gykl. p. 25. 
Verslagen der Afdeeling Natuurk. Dl. XXIV A®. 1915/16 
73 
