1130 
want parasitische takken der dubbelkromme, van de „werkzame” 
gedeelten door klerapunten gescheiden, ontmoet men reeds bij de 
eenvoudigste regeloppervlakken, als de wig van Wallis, de kubische 
regeloppervlakken, het normalenoppervlak, enz.; het eigenaardige 
in ons geval is dat de klempunten in het oneindige liggen, en dns 
de takken der dubbelkromme door de brandpunten nergens het 
oppervlak werkelijk bereiken. 
Dat dit inderdaad juist is is gemakkelijk te controleeren aan de 
parabool en de ellips. Voor de parabool if = ‘l 'px is de raaklijn 
y'y = p{.x' ai), en dus de abscis van het snijpunt met de a;-as : 
x = — x' , terwijl de afstand van dit punt tot het raakpunt bedraagt; 
4 -f- of 4 x'- -|- 2 px' ; zet men dezen afstand in het snijpunt 
der raaklijn met de .r-as naar boven en beneden vertikaal uit, dan 
vindt men blijkbaar 2 punten der dubbelkromme, zoodat de verge- 
lijking dier kromme wordt : 
= 4 x^ — 2 px. 
Verschuift men den oorsprong langs de as der parabool over een 
afstatid i p, zoodat hij in het midden tusschen den top en het 
brandpunt komt te liggen, en x' = x — \p wordt, dan wordt de 
vergelijking : 
4 x'‘^ — z^ = 4 p"} 
en dit is eene hyperbool die het vlak snijdt in de punten + i/9, 
d. w. z. in den top en het brandpunt der parabool. Maar het is 
duidelijk dat slechts de tak door den top werkelijk op het oppervlak 
ligt, terwijl die door het brandpunt over zijne geheele uitgestrektheid 
parasitisch is. 
Van belang is verder nog de opmerking dat de asymptoten- 
richtingen der hy|)erbool bepaald worden door de betrekking — = + 2, 
x' 
zoodat de halve asymptotenhoek grooter is dan 45°; beweegt zich 
dus een punt langs de kromme naar het oneindige, dan wordt de 
bijbehoorende, de parabool tweemaal loodrecht snijdende, cirkel 
niet slechts hoe langer hoe grooter, maar hij verwijdert zich hoe 
langer hoe verder uit het gezicht, om in het oneindige te verdwijnen ; 
bewijs dat de parabool geen dubbele normalen bezit. 
Bij de ellips is dit anders. Hier geeft eene even eenvoudige bere- 
kening als zooeven als vergelijking der dubbelkromme in het tr^-vlak : 
x'^z'^ = {x'^ — a^) (x^ — c^), 
eene 4® graadskromme dus, die het vlak snijdt in de toppen 
X = + h) de brand|)unten x = + c, en die reëel is voor 
