1238 
Wiskunde. — De Heer Jan de Vries biedt een mededeeling aan 
getiteld: ,/Taiigentiaalkroimnen van em hundel van rationnle 
ku h ische kroi nmenk' 
§ 1 . Wij zullen een bundel van rationale kubische krommen 
beschouwen, die alle in A een dubbelpunt hebben; elk der overige 
basispunten worde door B of door C aangewezen. 
De raaklijn h in B aan een snijdt deze in het tangentiaalpunt 
B' ; de meetkundige plaats t der punten B' heet de ta7igentiaal- 
kromme van B. Zij is het voortbrengsel van de projectieve bundels 
{(f^) en (6). 
Een der exemplaren van {(f>A bestaat uit de rechte AB en de 
kegelsnede door A en de vier punten C; hieruit volgt dat dem.pl. 
van B' is samengesteld uit de rechte BA en een kromme B, die 
in B een dubbelpunt heeft en door de punten A en C gaat'). Wij 
duiden dit aan door het teeken B [AJBAC). 
§ 2. Er zijn dus twee krommen die in.i? een 6^^^^//n^?^^lebben. 
Elke heeft drie buigpunten /; zij liggen op een rechte j. 
Daar B buigpunt is op twee krommen, omhullen de rechten / een 
kegelsnede. De m. pl. j der buigpunten (inflexieh'ommé) kan worden 
voortgebracht door met het stelsel der rechten j, dat den index 
2 heeft, en blijkbaar met (B)' projectief is. Op een willekeurige 
rechte bepalen de beide stelsels een verwantschap (1,6), op een 
rechte door A een (1,2). Hieruit valt af te leiden, dat de m. pl. der 
buigpunten, afgezien van de vijf rechten AB, een kromme van den 
zevenden graad is, die een viervoudig punt in A en dubbelpunten in 
de enkelvoudige basispunten heeft. Wij kunnen haar door het teeken 
i’ (Ak5jB^) aandidden. Buiten de basis heeft ze geen singuliere punten ^). 
Op elk der beide krommen (p^, die in A een keerpunt bezitten, 
zijn twee punten I in A opgenomen; hieruit volgt, dat de raaklijnen 
in het viervoudige punt van d twee aan twee zijn samengevallen. 
§ 3. Beschouwen wij thans de (antitangentiaalkromrae) 
van B, dus de m.pl. der punten, waarvan B het tangentiaalpunt is. 
Zij is blijkbaar het voortbrengsel van (y®) met den bundel der pool- 
kegelsneden van B, dus een figuur van den vijfden graad. Daar de 
h Met een willekeurige * heeft B twee in B gelegen punten, het punt B' en 
de vier punten C gemeen; dus liggen twee snijpunten in het dubbelpunt A. 
2) Bij een algeraeenen bundel (f^), dus met 9 basispunten B, behoort een 
inflexiekromme (9B'h, die buiten de basis 12 dubbelpunten bezit: deze zijn 
tevens dubbelpunten van krommen <B- 
