1395 
PQ = ds\ PR = rJs", -QR = d .^ , 
dan bepalen wij den hoek (. 9 ', s") tiisschen PQ en PR door de bekende 
trigonometrische formule 
= ds'^ + ds”'^ — 2ds'ds" cos (s', s"), 
cos {s', s") 
waaruit men kan afleiden 
ds'^A-ds"^~ds^ 
2ds'ds" 
GOS (s', s") = 2 (ab) gah 
dx' a dx’'i) 
ds' ds" 
Hierdoor kan men den hoek tusschen twee willekeurige elkaar 
snijdende lijnen bepalen en natuurlijk kunnen op dezelfde wijze ook 
de twee andere hoeken van den driehoek PQR worden berekend. 
Hierbij moeten twee gevallen worden onderseiieiden. 
a. Het vlak van den driehoek PQT? snijdt de toegevoegde indicatrix 
wel, maar de itidicatrix zelf niet. Dan zijn de drie zijden positief 
imaginair. 
Het blijkt verder dat steeds elke zijde kleiner is dan de som der 
twee andere, waaruit volgt dat de hoeken reëele waarden hebben, 
en dat hun som er bedraagt. 
b. Het vlak PQR snijdt zoowel de indicatrix als de toegevoegde 
indicatrix. 
Dan kunnen zich, wat den stand van den driehoek betreft, iiog 
verschillende gevallen voordoen. Wij kunnen ons echter bepalen tot 
driehoeken waarvan de drie zijden reëel zijn. Deze zijn inderdaad 
mogelijk; men kan nl. in het vlak van een hyperbool driehoeken 
teekenen, waarvan de zijden evenwijdig loopen aan voerstralen, uit 
het middelpunt naar punten van de kromme lijn (en niet van de 
toegevoegde hyperbool) getrokken. 
Intusschen vindt men bij nadere beschouwing dat bij de driehoeken 
waarvan nu sprake is tengevolge van de keus onzer ,, natuurlijke” 
eenheden, noodzakelijk één zijde grooter wordt dan de som der 
beide andere. De formule (4) geeft dan voor de cosinussen der 
hoeken reëele waarden, die absoluut genomen grooter dan 1 zijn, 
en wel zijn twee dier waarden positief en de derde negatief. Wij 
moeten aan de hoeken imaginaire of complexe waarden toekennen. 
Stelt men voor p j> -j- 1 
are cos jo — i log (p + — 1 ) 
en 
are cos ( — p) = jt — are cos p, 
dan vindt men voor de drie hoeken uitdrukkingen van den vorm 
90* 
