1431 
Wiskunde. — De Heer Hendrik de Vries biedt eene inededeeling 
aan: „De cirkels, die eene vlakke kronnne loodrecht snijden.” II. 
§ 7 . Wij vonden in de vorige § dat door het punt drie 
verschillende soorten van takken der restdnbbelkromme gaan, en 
daarbij ontstonden in het bijzonder de takken der eerste soort in 
groepen van 4 tegelijk. Zijn aSi 00 j ^200 twee enkelvoudige snijpunten 
van kc met l^, dan zijn de verbindingslijnen dezer punten met 
dubbele torsaallijnen van (§ 2), en de 4 bladen die door 
deze torsaallijnen gaan snijden elkaar in 4 takken der restdubbel- 
kromme, die natuurlijk alle door Z^ gaan, en hier slechts ééne 
raaklijn hebben, nl. de snijlijn der beide raakvlakken langs de 
torsaallijnen, d. i. de verbindingslijn van Z^ met het snijpunt der 
asymptoten van ke in aSi» en ;S 2 oo- 
De takken dezer eerste soort gedragen zich daarbij nog weer 
verschillend, al naar gelang zij naar de brandpunten en de toppen, 
of naar andere punten van gaan ; de takken naar de brandpunten 
en de foppen zijn hun eigen spiegelbeeld ten opzichte van d, die 
naar andere punten, zooals de dubbelpunten, de keerpunten, de 
snijpunten van de isotrope raaklijnen, zijn eikaars spiegelbeeld. 
Dit verschil is van invloed 0 |) den aard der raaklijnen in Z^-, voor 
een tak die zijn eigen spiegelbeeld is moet Z^ een buigpnnt zijn, 
omdat op eene rechte door dit punt die de kromme tweemaal snijdt, 
de beide snijpunten van verschillende kanten tot Z^ naderen ; twee 
takken daarentegen die eikaars spiegelbeeld zijn en door gaan, 
hebben eenvoudig in dit punt dezelfde raaklijn. Maar welke van de 
twee gevallen zich ook moge voordoen, de projectie van 4 bij elkaar 
behoorende takken vertoont in het snijpunt der bijbehoorende asym- 
ptoten van ke een dubbelpunt. Projecteert men nl. eene ruimtekromme 
uit één van haar bnigpunten, dan vertoont de projectie een keerpunt 
in het doorgangspunt der buigraaklijn ; is dus de kromme symme- 
trisch ten opzichte van /?, en Z^ een buigpnnt, dan bestaat de 
projectie uit een tak die eindigt in het snijpunt der asymptoten in 
fSioo en aS 2 oo, en eenvoudig heen en terug doorloopen wordt. Dit 
verschijnsel doet zich nu echter 4 keer voor, en de 4 takken die op 
die manier in één en hetzelfde punt eindigen, vloeien ineen tot eene 
kromme met een dubbelpunt, waardoor de discontinuïteit weer is 
opgeheven. En hebben wij te doen met takken die eikaars spiegel- 
beeld zijn, en voor die dus Z^ een gewoon punt is, dan projecteeren 
zich deze takken twee aan twee in éénzelfden tak, die echter door 
het snijpunt der asymptoten van ke- heengaat, en zoo ontstaat ook 
dan een dubbelpunt. Wij hebben dus voor alle gevallen de volgende 
