1433 
zoodat er voor het gelijk worden van 2 van die raaklijnen, die aan 
verschillende takken raken, 4 mogelijkheden zijn; zoodoende 
ontstaan 4 enkelvoudige oneindige takken der kromiïie. 
De takken der 3’'^ soort eindelijk ontstaan door de combinatie van 
een enkelvoudig snijpunt van h- en met een raakpunt 
(§ 6); zij ontstaan in groepen van 4, zijn twee aan twee in de invo- 
lutorische collineatie aan elkaar toegevoegd, en hebben alle 4 
slechts ééne raaklijn in Z^, nl. blijkbaar de lijn Z^S^ zelve; het 
gevolg hiervan is dat door 2 takken der m. pl. van gelijke 
raaklijnen gaan, d. w. z. 2 takken voor ieder punt en dus in 
het geheel 2n. Dus: de ja — 26 — 2n enkelvoudige snijpunten van ke- en 
C de in. pl. der punten van gelijke raaklijnen la-voudige 
punten. 
Ook deze uitkomst laat zich planimetrisch verifieeren. 
Stellen wij ons nl. een hyperbolischen en een parabolischen tak 
van ke- voor, dan gaat uit een punt van in de nabijheid van de 
asymptoot ééne raaklijn die zeer in de nabijheid van die asymptoot 
ligt, terwijl er 2 raaklijnen aan den parabolischen tak gaan ; 
er zijn dus 2 mogelijkheden voor het gelijk worden dier raak- 
lijnen, en dus gaan er 2 takken van de m.pl. der punten van gelijke 
raaklijnen in de richting van de asymptoot naar het oneindige. Zelfs 
zal, aangezien Z^S^ eene torsaallijn van is, het osculatievlak in 
Z^ aan iederen tak van deze derde soort samenvallen met het tor- 
saalvlak, en dus de raaklijn in S'^ aan iederen tak van de m.pl. 
der punten van gelijke raaklijnen met de asymptoot van ke. Wij 
kunnen dus aan het voorgaande nog toevoegen : alle takken van de 
m.pl. der punten van gelijke raaklijnen die door een punt van ke 
gaan, hebben in dit punt de asymptoot van k'^- tot raaklijn. 
§ 8. Wij hebben in § 6 het aantal snijpunten bepaald dat een 
willekeurig vlak door Z^ buiten met de restdubbelkromme 
van 52 gemeen heeft, en hebben daaruit den graad r/* van de m.pl. 
der punten van gelijke raaklijnen aan ke- bepaald ; voor het vlak 
6^ echter ziet de berekening er eenigszins anders uit, omdat ver- 
scheidene takken door Z^ het vlak 6^ aanraken. De takken van 
de eerste soort (§ 6) snijden 6^ in Z^-, het aantal snijpunten, af- 
komstig van deze, bedraagt dus : 
2(|u— 2e-2ö) {y—2e — 2ö~l). 
De 4u(u — l)-takken van de tweede soort, en de 4u (fi — 26 — 2u) 
van de derde raken daarentegen geven dus respectie- 
velijk 8u (ö — 1) en 8u ((Lt —26 — 2u)-snijpunten ; de som van deze drie 
aantallen is: 2fi^ — bpe — 2fx-l-8f^+4f — 4u. 
