1434 
Trekt men dit getal af van den graad der restdnbbelkromme, 
zooals die gegeven is in ^ 6, dan vindt men hoeveel punten met 
de restdnbbelkromme gemeen heeft buiten Z—, dit aantal bedraagt 
(>= — 4g(T— Sre + Seo"— ISr-fSf-f-Qn-bSin + r''® 
Deze punten liggen tvvme aan twee harmonisch ten opzichte van 
en /?, hetzij op hetzij op de besclirijvenden van i2 in en 
door hnnne projecties op zijn oneindig verre punten van de 
m.pl. der punten van gelijke raaklijnen aan kj'-. Tot deze oneindig 
verre punten belmoren echter ook de projecties van die punten, die 
oneindig dicht bij Z^ liggen, en die wij in de vorige § reeds be- 
paald hebben, te weten 2ö {o — Ij enkelvoudige, en (p — 26 — 2o) 2c- 
vondige (de laatste in de enkelvoudige snijpunten van k''- en ge- 
legen). Verdubbelt men deze aantalle]i, telt ze dan bij het liierboven 
gegeven getal q op, en deelt de uitkomst door 2, dan vindt men 
luist den graad d* van § 6 terug. 
Komt een tak der restdnbbelkromme \an S2 in terecht, en 
laten wij een punt P dien tak doorloopen, en wel in de richting 
naar toe, dan wordt de beeldcirkel van P, die ]p tweemaal 
loodrecht snijdt, hoe langer hoe grooter; beweegt zich daarbij P 
langs een h y p e r b o 1 i sc h e n tak, dan zal die cirkel tot limiet eene 
rechte lijn hebben die het snijpunt der asymptoot met ^ bevat, en 
deze rechte lijn zal t'- tweemaal loodrecht snijden, en dus eene 
dubbele normaal zijn. Beweegt zich P echter langs een paraboli- 
schen tak, dan verdwijnt de cirkel ten slotte in het oneindige. 
Langs dezen weg is dus het aantal dubbele normalen van k^'- niet 
te bepalen ; dit is echter ook niet noodig, omdat wij dit aantal reeds 
in onze vroegere verhandeling [Arno. Cykl. p. 21) zoo goed als be- 
paald hebben. De dubbele normalen van zijn nl. blijkbaar dubbele 
raaklijnen van de evoluut van en voor het aantal dezer dubbele 
raaklijnen vonden wij t.a.p. : 
f r — 26- ö) 2e— 1) — (‘ + 3g)|. 
In dit aantal is echter l^ een zeker aantal malen begrepen. De 
evoluut heeft nl. in elk van de ja — 26 — 2g enkelvoudige snijpunten 
van h'- met l^ keerpunten, en wel zóó dat de keerpuntsraaklijn 
met l^ samenvalt, en in elk van de ö raakpunten van P'- en 
bnigpunten, terwijl de buigraaklijn ook weer steeds met samen- 
valt; het is dus duidelijk dat in l^ een zeker aantal dubbele raak- 
lijnen vereenigd liggen. Dit aantal is gemakkelijk te bepalen. Deidcen 
wij allereerst 2 van de o buigpunten, en merken wij op dat in elk 
buigpunt 3 punten der kromme op eene rechte lijn liggen, dan is 
het duidelijk dat eene dubbele buigraaklijn 4 dubbele raaklijnen 
