1436 
om het voetpuiit dier loodlijn twee loodrecht snijdende cirkels be- 
schrex'en kunnen worden wier stralen slechts oneindig weinig ver- 
schillen, en dit is niet onmogelijk, want het geldt voor alle pnnten 
der buigraaklijnen van 52, maar ook uitsluitend \’oor deze. Inderdaad 
vonden wij reeds vroeger dat de beschrijvenden van 52 door de 
buigpunten van kt'- torsaallijnen van 52 waren met vertikale raak- 
vlakken; deze torsaallijnen, ten getale van 2/, belmoren dus lot de 
doorsnijding van 52 met het eerste pooloppervlak van , en vormen 
eigenlijk den eenigen werkelijken ,, omtrek” van 52 voor Z^, af- 
gezien natuurlijk van h^- zelve, die, zooals van zelf spreekt, en ook 
rut het eenvoudige vooi'beeld der omwentelingshyperboloïde duidelijk 
is, eveneens tot den schijnbaren omtrek behoort. 
Denken wij eene lijn door getrokken naar een punt P van 
h'-. Wij weten dat langs P'- 2 bladen van 52 elkaar osculeeren, en 
vragen nu hoeveel punten de lijn Z^P in P met 52 gemeen heeft. 
Dit aantal zal 4 bedragen, evenals wanneer de bladen elkaar langs 
h'- eenvoudig aanraakten, want anders zouden in een dooisnede met 
een vlak door Z^P de beide takken in P buigpunten bezitten, w'at 
niet het geval is. Trouwens, om het voetpunt van eene wille- 
keurige lijn door Z^ zijn v cirkels te beschrijven die P'- lood- 
recht snijden, en om P v — 2, dus liggen op Z^P in P 4 punten 
van 52 vereenigd. Van het eerste pooloppervlak liggen dus op Z^P 
in P 3 punten vereenigd, en de vraag is nu hoe dat pooloppervlak 
dan gebouwd is, daar het toch niet anders kan doen dan de beide 
bladen van 52 die door P' gaan, aanraken. De zaak is deze dat het 
eerste pooloppervlak uiteenvalt in een werkelijk gebogen oppervlak 
en het platte vlak ;i, en dus tot dubbelkromme heeft. Eene lijn 
Z^P bevat nu het punt P van de dubbelkromme, en bovendien 
nog een naburig punt, en dus in het geheel werkelijk 3. 
Dat p' een deel is van het eerste pooloppervlak van Z^ volgt 
reeds uit de symmetrie van 52 ten opzichte van Eene willekeurige 
rechte door Z^ snijdt 52 slechts in 2r punten die niet met Z^ samen- 
vallen, en dus in 2/a— 4e — 2o punten die wèl met Z^ samenvallen; 
het eerste pooloppervlak snijdt dus die rechte eveneens in 2fi —4e — 2n 
punten die met Z^ samenvallen, en verder in de 2r — i harmonische 
polen van Z^ ten opzichte van de 2r niet met Z^ samenvallende 
punten van 52. Nu moet het eerste pooloppervlak van natuurlijk 
ten opzichte van symmetrisch zijn, omdat 52 dit ook is ; maar 
het getal 2v — 1 is oneven, terwijl van deze pnnten geen enkel in 
het oneindige kan liggen; dus moet er één in ^ liggen, en dit geldt 
voor iedere rechte door Z^. 
Ook analytisch is dit gemakkelijk in te zien. De 2r hierboven 
