1437 
bedoelde punten laten zich weergeven door een vergelijking van 
den vorm : 
{z^ — a^) (z^ - (z‘^ —c^)... = 0, 
en de harmonische middelpunten voor de pool vindt men hieruit 
door differentiatie naar 2 ; dan blijkt echter onmiddellijk dat iedere 
term den factor 2 : bevat. 
Het eerste pooloppervlak van valt dus uiteen in het platte 
vlak en een oppervlak dat slechts den graad 2fi.-|-2r — 4s — 2a — 2 
bereikt, en nog slechts als enkelvoudige kromme bevat. In het 
voorbijgaan willen wij doen opmerken dat 52 nog andere torsaal- 
lijnen bevat met vertikale raakvlakken, nl. de raaklijnen uit de beide 
absolute cirkelpunten aan (§ 2), en dat deze lijnen dus eveneens 
tot de doorsnede van 52 met het eerste pooloppervlak behooren ; 
daar zij echter in liggen, en slechts één keer in rekening te brengen 
zijn, liggen zij niet op -Tj. 
De doorsnede van 52 met jr, bestaat nu uit de navolgende stukken. 
D. De kromme Wij zagen reeds dat jt, de beide bladen van 
52 die door h''- gaan, in zelve aanraakt ; maar die beide bladen 
osculeeren elkaar, d.w.z. in iedere doorsnede met een vlak door Z^ 
hebben zij niet 2, maar 3 punten gemeen ; door dit derde punt 
moet JTj óók gaan, d.w.z. oscilleert elk van die beide bladen, en 
heeft dus met 52 de kromme zesmaal gemeen. 
2“. De kromme . Deze is voor 52 (r — o)-voudig (§ 2), dus voor 
jTj (r — j — l)-voudig ; in de doorsnede van 52 en rTj telt dus deze 
kegelsnede (r — <;) (v — a — 1) keer. 
3°. De p — 2e — 2a dubbele torsaallijnen van 52, die afkomstig zijn 
van de enkelvoudige snijpunten van met /^ ; deze lijnen vertoonen 
voor .Tj hetzelfde karakter als voor 52, d.w.z. door elk van deze 
lijnen, die als torsaallijnen dubbel op te vatten zijn, gaan 2 bladen 
van 52 en 2 van jTj, zoodat zulk een lijn in de doorsnijding 8 maal telt. 
4“. De V dubbele torsaallijnen van 52, die afkomstig zijn van de 
raakpunten van F'- met van deze geldt hetzelfde als van die van 
de voorgaande groep, elk van deze a lijnen telt dus in de doorsnijding 
8 maal.. 
5“. De 2y. keerribben van 52, de 45°-lijnen door de keerpunten 
van F'- (§ 3). De keerraakvlakken dezer keerribben gaan steeds door 
Z^, zoodat een lijn Z^P die Z^ met een punt P van zulk een 
keerribbe verbindt, in P met 52 3, en dus met 2 punten gemeen 
heeft. Het is echter gemakkelijk in te zien dat in de doorsnijding 
van 52 met jTj iedere keerribbe 4 maal in rekening te brengen is, 
en dit is met de rest slechts in overeenstemming te brengen indien 
wij aannemen dat eene keerribbe van 52 eene dubbelribbe van is. 
