1438 
Uat dit inderdaad zoo zijn moet is het gemakkelijkst te zien aan 
het voorbeeld van de vlakke knbisehe kromme met keerpunt. Deze 
is van de klasse 3, en de poolkegelsnede van een willekeurige pool 
P gaat door het keerpunt, raakt hier de keerpuntsraaklijn aan, en 
heeft dus hier 3 punten met de kromme gemeen ; de overige 3 snij- 
punten zijn de raakpunten der 3 raaklijnen uit P. Ligt nu echter 
P op de keerpuntsraaklijn, dan gaan er behalve deze aan de kromme 
nog slechts 2 raaklijnen ; de poolkegelsnede van P moet dus nu in 
het keerpunt 4 punten met de kromme gemeen hebben, maar de 
keerpuntsraaklijn heeft in het keerpunt met de kromme slechts 
3, en dus met de poolkegelsnede slechts 2 punten gemeen. Aan deze 
verschillende voorwaarden is slechts tegelijkertijd te voldoen indien 
de poolkegelsnede ontaardt in een lijnenpaar, welks dubbelpunt in 
het keerpunt ligt. Door deze redeneering toe te passen op de keer- 
ribben van vindt men nu gemakkelijk dat deze dnbbelribben zijn 
van JTj, en dus in de doorsnijding met 4 maal rellen ; en aan- 
gezien door ieder keerpunt van P' twee van die keerribben gaan, 
is de bijdrage die door al die keerribben tot de doorsnijding geleverd 
wordt, van den graad 8jt. 
6”. De 2t torsaallijnen van door de buigpunten van >1''^ (zie boven). 
7". De restdubbelkromme. Deze ligt als enkelvoudige kromme op 
jTj, en telt dus in de doorsnijding dubbel. De berekening van den 
graad d der dubbelkromine langs dezen weg ziet er dus nu als volgt 
uit. De oppervlakken en jr, zijn respectievelijk van de graden 
2.a-f-2r — 46 — 20 - en 2ft-l-2r — 46 — 2a — 2 ; de graad van hunne volledige 
doorsnede is dus het product van deze twee getallen. Om nu 2f/ te 
vinden heeft men dit product te verminderen met 6p, 2(r — o){v — a — 1), 
8(ft — 26 — 2a), 8a. 8x, 2i. 
§ 10. Het tweede pooloppervlak van ten opzichte van Si, dat 
wij JTj zullen noemen, is van den graad 2ft-|-2r — 46 — 2a — 2, dus 
evenals Si van even graad, en behoeft dus niet, zooals het eerste, 
uiteen te vallen. Inderdaad, indien wij de snijpunten van eene lijn 
door met het volledige 1® pooloppervlak voorstellen door : 
z{z^ - P){z^ — P) . . . = 0 
dan blijkt door differentiatie onmiddellijk dat ^ = 0 niet meer voldoet. 
jTj bevat de kromme /,■<“, want deze is voor het volledige eerste 
pooloppervlak, zooals wij in de vorige § gezien hebben, eene dubbel- 
kromme. Verder volgt reeds uit de symmetrie ten opzichte van .5 dat 
de raakvlakken aan in alle punten van P'- vertikaal zijn, terwijl 
dit eveneens is af te leiden uit het feit dat eene rechte Z^P, die 
Z^ met een punt P van P^- verbindt, in P het oppervlak aan- 
