1443 
nog weer één punt in /?, nl. in het keerpunt K, zoodat er slechts 
2;t-f2r — — 2n — 5 overblijven die niet in /I liggen. Volgens de 
voorgaande § heeft nl. de lijn A’ in K 4 punten gemeen met n^, 
dns 3 met aj-f-/!; van deze behoort er één tot j?, zoodat er 2 ovei’- 
blijven voor 'g, en met het oog op de symmetrie van ag ten opzichte 
van kunnen deze slechts op eene raaklijn van ./g liggen; gaat 
dus met één blad door K. iedere keerrihbe van 12 wordt dus door 
2u-\-'2v — 48 — 2n — 5 gewone beschrijvend en gesneden, en deze punten 
zijn keerpunten van de restdubbelkroinme, terwijl hunne beeldcirkels 
ke tweemaal loodrecht snijden, waarvan éénmaal in het bijbchoorende 
keerpunt. 
Dit laatste spreekt van zelf; dat echter de punten in kwestie 
keerpunten van de restdubbelkromme zijn volgt onmiddellijk uit de 
beschouwing van de beschrijvenden van 12 die in de nabijheid liggen 
van degene die de keerril)be snijdt; deze vormen nl. met elkaar 
een zeker blad van 12, en dit snijdt natuurlijk de twee bladen die 
in de keerribbe samenkomen volgens een keerpunt; de keerpunts- 
raaklijn ligt daarbij in het keerraakvlak van 12, d.w.z. in het ver- 
tikale vlak door de keerribbe. Jn de projectie vinden wij dus voor 
de meetkundige plaats der punten vast, gelijke raaklijnen aan h'- een 
keerpunt, gelegen op eene keerpuntsraaklijn-, en het aantnl dezer pun- 
ten on éénzelfde keerpuntsraaklijn van kJ' bedraagt 2n-j-2i' — 48 — 2c — 5. 
Wij zagen hierboven dat in een keerpunt P der restdubbelkromme, 
gelegen öp eene keerribbe van 12, de lijn met 12 4, en dns 
met .Tg, dat eveneens de keerribbe bevat, 2 punten gemeen heeft; het 
raakvlak in P aan gaat dus door de keerribbe en is vertikaal. 
De keerpuntsraaklijn in P ligt nu volgens het bovenstaande in dit 
vertikale vlak, waaruit volgt dat de dubbelkromme en in ieder 
punt P 3 samenvallende punten gemeen hebben. 
Het volledig aantal snijpunten van de restdubbelkromme en 
bedraagt (2f,t-l-2r — 48 — 2c — 2) (/ ; zonderen wij nu hiervan alle in 
deze en de vorige § opgesomde puntengroepen af, dan houden wij 
de drievoudige punten der i'estdubbelkromme over, of, duidelijker 
gezegd, dan houden wij een aantal punten over die Jioodzakelijk in 
groepen van 3 moeten samenvallen. Noemen wij dus dit aantal u:, 
dan is het aantal drievoudige punten der restdubbelkromme ^ as. 
Deze punten liggen twee aan twee symmetrisch ten opzichte van d; 
het aantal punten in d dus, die middelpunten zijn van cirkels die 
kv driemacd loodrecht snijden, is htr, en deze punten zijn voor de 
meetkundige plaats der punten van gelijke raaklijn, en drievoudige 
punten. 
Wij vinden voor r de volgende formule ; 
93 * 
