1445 
§ 12. Door het voorgaande is liet cyklographisch oppervlak 
volledig onderzocht; wij moeten dns nn in staat zijn het antwoord 
te geven op alle vragen die gesteld kunnen worden aangaande de 
cirkels die ji:''- loodrecht snijden. Vragen wij dns bijv. in de eerste 
plaats naar de kromme die ontstaat indien wij op iedere raaklijn 
van /(,•.“ van af het raakpunt naar weerskanten een stuk van voor- 
geschreven lengte afzetten, dan is het duidelijk dat wij 12 eenvoudig 
hebben te snijden met een plat vlak dat evenwijdig loopt met /?, en 
de doorsnede op (1 hebben te projecteeren. Wij vinden dus eene 
kromme van den graad 2 (p -)- r — 2e — o), die dubbelpunten heeft 
overal waar zij de restdubbelkromme, en keerpunten waar zij de 
keerribben van 22 ontmoet. Verder gaat zij (v — o) maal door de 
absolute punten van (3, terwijl zij met 2 takken, die beide de 
asymptoot van tot asymptoot hebben, door elk van de p — 2e — 2a 
enkelvoudige s n ij p u n t e n van en gaat, en eveneens met 
2 takken door elk van de a raakpunten van h'- en gaat, 
terwijl die twee takken hier k''- eveneens aanraken. 
Voor de ellips vindt men zoodoende eene kromme van den graad 
8, bestaande uit twee geheel van elkaar gescheiden, en gesloten, 
ovalen. De kromme bezit geen keerpunten, maar wel 8 dubbelpunten, 
4 op de groote as, en 4 op de kleine. Van de 4 op de groote as 
zijn er 2 werkelijke knoopen, en deze liggen buiten de ellips, terwijl 
de andere twee geïsoleerd zijn, en tusschen de brandpunten liggen; 
van de 4 op de kleine as zijn er eveneens 2 werkelijke knoopen, 
en deze liggen natuurlijk ook weer buiten de ellips, terwijl nu hier 
de andere twee onbestaanbaar zijn. Reëele oneindig verre punten 
bezit de kromme in het geheel niet ; deze komen voor deii dag bij 
de hyperbool, waar telkens 2 takken de asymptoten der hj’perbool 
eveneens tot asymptoten hebben. Daarvoor worden dan hier echter 
de dubbelpunten op de ééne as, nl. de niet snijdende, alle 4 imagi- 
nair, terwijl in het karakter van de 4 op de andere as geen ver- 
andering komt ; alleen liggen nu de 2 knoopen tusschen de 
toppen, en ’de twee geïsoleerde dubbelpunten buiten de brand- 
punten. 
Bij de parabool is de kromme van den graad 6 ; zij l)ezit 2 reëele 
dubbelpunten, beide gelegen op de as der parabool ; het ééne, een 
werkelijke knoop, ligt buiten de parabool, het andere, een geïsoleerd 
dubbelpunt, tusschen het brandpunt en het oneindig verre punt ; 
bovendien raken 2 parabolische takken aan in het oneindig verre 
punt der parabool. Verder zijn, in het geval der parabool, de absolute 
cirkelpunten enkelvoudige punten, in het geval der beide andere 
kegelsneden dubbelpunten. 
