1817 
elkaar afhankelijk en zijne pogingen om in dit geval (p («, /?) door 
i^-waarden uit te drukken blijven vruchteloos. Het blijft nog steeds 
onbeslist, of in het algemeen voor M even eene dergelijke uitdrukking 
langs welken weg dan ook te vinden zal zijn. In het volgende 
j wordt voor M oneven eene rechtstreeksche bepaling van (fia, /?) 
gegeven, terwijl ik verder ook de uitkomsten, die Eui.er voor het 
geval M even verkreeg, nog in het kort zal beschouwen. 
Vooraf kan worden opgemerkt, dat <p{k,M — k) en fp{M — k, k) 
voor Ic^k M — 1 op eenvoudige wijze samenhangen. Men heeft 
nl. blijkbaar 
(p{k, M—k) H- (p{M—k, k) = ^{M-k) + 
en in het bijzonder 
<p{N,N) = 
M—l 
zoodat voor gegeven M slechts hoogstens — ^ — onbekenden te bere- 
kenen zijn. 
Ik ga uit van zekere tamelijk eenvoudige goniometrische reeksen, 
bepaald door de vergelijkingen 
2 ( — 1)^+1 GOS 2jint 2 ( — sin 2jint 
“ (2jr)2fe — (2jt)2^-+i n2fc+i 
Deze reeksen, welke voldoen aan de betrekking 
»'„+,(') = y„(<). 
stellen met uitzondering van g^{t) doorloopende periodieke functies 
van t voor. 
Als 0 ^ 1 is, zijn zij gelijk aan eenvoudige veeltermen in die 
eigenlijk de afgeleiden zijn van de veeltermen van Bebnoulli. Anders 
gezegd, voor 0 ^ 1 zijn de functies g^if) als ontwikkelings- 
coëfficiënten bepaald ; men heeft 
^gXt m=cc 
i — r — ^ 
— 1 m=l “ 
en daaruit volgt, steeds in de onderstelling 0 ^ 1, 
9i{t) = — ^ = + enz. 
Het is in te zien, dat iedere veelterm in t voor 0 <j ^ 1 lineair 
in ^-functies is uit te drukken. In het bijzonder geldt dit Aan het 
produkt van twee ^-functies en zulk een produkt wordt op de 
navolgende wijze herleid. 
Uit de identieke vergelijking 
