907 
waarin u in het gebied (o) ontwikkeld kan worden, en de uitkauwt 
is een reeks die uniform binnen («) /convergeert. 
19. We behandelen nu 'de veralgemening van het teorema van 
Taylok voor de funksionaalrekening. 
Dit betreft de ontwikkeling van de transmutatie T toegepast op 
een produkt w — vu naar maehten van Du, als de getransmuteerde 
Tv van v en een aftelbaar oneindig aantal andere grootheden, die 
men de afgeleiden van de transmutatie T , toegepast op v, kan 
noemen (de naam is van Pincherle afkomstig), bekend zijn ; een 
ontwikkeling van Tw in het punt, of op de plaats w = v, zoals we 
zouden kunnen zeggen, terwijl dan de biezondere ontwikkeling, die 
naar machten van Dw, er een op de plaats w = 1 zou kunnen 
heten. (Vgl. hiermee de ontwikkeling van een funksie f{x ) op de 
plaats x = a naast die op de plaats x = 0). 
We onderstellen weer : 
1°. T is normaal , zodanig dat het N.V. een sirkel («) met middel- 
punt x 0 is, terwijl de funksies van het F.V. behoren tot een met 
(«) konsentriese sirkel (o). 
2°. De bij T behorende reeks P is volledig in («) met korrespon- 
d erend gebied Q3). 
Het is verder voor het vervolg gemakkelik, om te onderstellen 
dat als toegevoegd veld paar van T in aanmerking komt ieder toe- 
gevoegd veldpaar van P, hetgeen involveert dat men voor (<?) kan 
nemen iedere sirkel groter dan (ft) (zie N°. 12, 2 t: mededeling). 
Mogelikerwijs zal men niet (ft) zelf als N.V. F. bij («) als N.V. O. 
mogen aannemen (N°. 13), maar in ieder geval heeft men nu, volgens 
het funksionele teorema van Mac Laurin, Tu = Pu, voor alle 
funksies die tot (ft) behoren, omdat, als u tot ((5) behoort, hij ook 
behoort tot. een iets grotere sirkel. Volgens de slotopmerking in N°. 15 
(3 n mededeling) zou men, als T nog niet voor al deze funksies ge- 
definieerd was, liet F.V. van T daarover kunnen uitbreiden, door 
voor die funksies eenvoudig Tu = Pu te stellen. En indien T voor 
een zeker deel van de tot (§) behorende funksies wèl gedefinieerd 
was, maar anders , zódanig dat daarvoor Tu =|= Pu, dan zou T niet 
/continu zijn in het totale veld, en dan zouden we ons toch, bij de 
beschouwingen waar het hier om gaat, van een aldus gedefinieerde 
T afwenden, en er een andere voor in de plaats stellen, die ook 
voor de genoemde funksies identiek is met P. 
Is w nu een funksie die tot (<S) behoort, dan hebben we dus 
in het gebied («) 
59 
Verslagen der Afdeeling Natuurk Dl. XXV. A°. 1916/17. 
