in een meetkundige omgeving van het funksionele punt w = r. Voor 
v = 1 gaal de reeks weer in de vroeger gevonden biezondere over; 
hierbij blijkt dat de koëffisiënten a m kunnen opgevat worden als 
7 T (”') (1), d. w. z. de me afgeleiden van T toegepast op liet funk- 
sionele beginpunt w (x) = 1. Voor deze biezondere waarde van 
w (x) kan men de bedoelde afgeleiden dus ook met behulp van de 
formule (24) vinden ; voor w v geldt, zoals bij Pincheble te 
vinden is, en we zo aanstonds zullen veritieren, de volgende veral- 
gemening van (24) 
d m = : T(x' n v) — m 1 xT(.v m - 1 * * v) (45) 
Uit de afleiding die we van de algemene ontwikkeling gegeven 
hebben, blijkt dat hij onder dezelfde voorwaarden als de bie- 
zondere geldig is, behoudens de toevoeging dat „beginpunt” v(x) en 
„aangroeiing” u(x) heide tot het P. V. van de met T korresponde- 
rende reeks P behoren. Hiermee is het algemene teorema van Taylor 
voor de funksionaalrekening bewezen, in de volgende vorm : 
Is de reeks P die aan een n o r m al e addiiieve transmutatie T 
beantwoordt, volledig in het sirkelvormige gebied dat het 
N. V, O. van T vormt, dan kan in dit gebied T(io) in de funksionele 
reeks van Taylor ontwikkeld worden, op de plaats io = v, indien 
zowel beginpunt v als aangroeiing u ( w — vid tot de met K a) korr es- 
ponder end e sirkel (ft) behoren, b 
20. We kunnen beide leden van (42) ook als een operatie op 
de funksie u opvatten. Dan staat er de ontwikkeling van de trans- 
mutatie T, = Tv, toegepast op de funksie u, in een „reeks van 
Mac-Laurin”. Aangezien de uitkomst die we in het vorige nummer 
gevonden hebben, leert dat deze reeks (die we, als beantwoordende 
aan de transmutatie T x , door P L zullen aanduiden) in het gebied 
(a) konvergeert voor iedere funksie die tot (ft) behoort, mits dit ook 
met de vaste, gegeven funksie v het geval is, is de reeks P x insge- 
lijks volledig in het gebied («), en wel met een korresponderend 
gebied, dat hoogstens gelijk is aan (ft). Dit kan ook rechtstreeks uit 
de ongelijkheid (41) worden afgeleid, die a fortiori voor | a' m | 
geldt. Want het is duidelik dat men, in plaats van de uitspraak 
waarvan die ongelijkheid de uitdrukking is, even goed kan zeggen: 
Bij ieder gegeven, willekeurig klein getal e is er een geheel getal 
n s zodanig dat 
| a' m |<(,1 voor m > n , . . . (41a) 
i) We hebben er nu niet meer ekspres bij gezegd dat 9 u,v,w deel uitmaken 
van het F.V., omdat dit, volgens onze overeenkomst in het begin van dit nummer, 
anzelf spreekt, nu deze funksies tot (3) behoren. 
