912 
en hieruit volgt, als men het 2 e gedeelte van het bewijs in N°. 4 
(l c mededeling) raadpleegt, de volledigheid van de reeks P x in («), 
met een korresponderend gebied dat hoogstens gelijk is aan (ft. 
We kunnen dus de in N°. 18 gevonden uitkomst ook zó inter- 
preteren: Is de reeks P, die beantwoordt aan een normale addi- 
tieve transmutatie T, volledig m het sirkelvormige gebied («V dat 
het N. V- O. van T vormt, met korresponderend gebied (ft, dan V 
is de reeks P,, 'die beantwoordt aan de transmutatie T x = T(v), 
waarin v een gegeven, vaste funksie is, die tot de sirkel (ft behoort, 
eveneens volledig in (ft, met een korresponderend gebied dat 
hoogstens gelijk is aan (ft; 2" heeft men in het gebied (ft 
1\ (ft ~ P x (ft 
voor die funksies van het F. V. van T x die tot (ft behoren. 
We voegen hier nog aan toe: Daar de laatste gelijkheid eet. par: 
volgens het „teorema van Mac-Laurun” juist zou gelden, als T x =Tv 
een 'normale transmutatie was, rijst de vraag, of dit het geval is. 
Deze vraag moet bevestigend beantwoord worden. Immers, als een 
funksie u van het funksionele veld F{T) van T tot (ft behoort, 
dan is dit ook met het produkt vu het geval, zodat T(vu), en dus ook 
T x ü = T{vu), volgens onze overeenkomst in ’t begin van N°. 19, 
in het gebied (ft bestaat. Hieruit volgt: Er is voor de transmutatie 
r J\ een veld paar aan te geven, waarvan het numerieke veld de 
sirkel (ft is, en het funksionele veld bestaat uit de funksies die tot 
de sirkel (ft behoren. Daar hieronder ook de rationele, gehele 
funksies begrepen zijn, voldoet T x alvast aan de voorwaarden sub 1° 
en 2°, die we in N°. 15 (3 e mededeling) voor een normale additieve 
transmutatie aangegeven hebben. Maar T x is ook kontmu in het 
genoemde v.eldpaar; immers, nadert u in het gebied (ft tot nul, dan 
is dit ook het geval met het produkt vu van u met de vaste, tol 
(ft behorende funksie v. Maar dan nadert ook, wegens de konti- 
nuiteitseigenschap van T, de grootheid T(viï) in het gebied (ft tot 
nul, en daar deze identiek is met T x u, is hiermee de kontinuiteits- 
eigenschap van T x aangetoond. 
Yat men de uitdrukking Tvu op als de uitkomst van de trans- 
mutatie T x ={Tv), toegepast op de funksie u, dan ligt de volgende 
afleiding van de uitdrukking (45) voor de koëffisienlen a' m = T('"\v) 
van de met T x korresponderende reeks P x onmiddellik voor de 
hand. Noemt men S,' m de funksie waarin x m door T x wordt getrans- 
formeerd, dan i&a 
è'm = (Tv) X” 1 — T yVX m ), 
en dan voert toepassing van de simboliese formule (24), volgens 
