telkens op. dezelfde manier uit de voorgaande krijgt 1 ), volgt onmid- 
dellik de juistheid, in het gebied ||t), van de voorstelling (39) voor 
T *m- | 
Stel nu dat v (x) de konvergentiestraal r heeft, en zij i\ de «-waarde, 
waarmee, voor de reeks P, r als i-waarde korrespondeert. Dan is 
alvast de reeks P,, die beantwoordt aan de transmutatie T, = (Tv), 
volledig in ieder gebied («) < 0\), met korresponderend gebied 
(fj') < (r). Maar de reeks P l zal dikwels nog volledig zijn in een 
gebied groter dan 'i\), zoals uit formule (45) valt op te maken. 
Volgens deze zijn nl. de grootheden a' m regulier in een gebied, als 
dit met de getrans muteerden van x m v, voor willekeurige gehele, 
pozitieve waarden van m, het geval is. En nu hebben we in de 
Nos. 7 en 8 (2e mededeling) uitvoerig toegelicht dat de getransmu 
teerde Tw van een funksie w met konvergentiestraal r zeer goed 
regulier kan zijn in een sirkel groter dan de sirkel (r\) waarmee (?’), 
voor de bij T behorende reeks P, korrespondeert. 
Gewoonlik zal verder T (,v m v) tegelijk met Tv regulier zijn in 
een gebied. Stel nl. dat T normaal is, zodanig dat het N.V.O. 
een sirkel («)>(?’,) is, en het N.V.F. een sirkel (o) <[ (r). Is 
gegeven dat alle funksies die tot (o) behoren, deel uitmaken van 
het F.V., dan is niets te demonstreren, aangezien daarin ligt opge- 
sloten dat zowel v als x m v een getransmuteerde in (q) hebben. Maar 
is voorlopig alleen gegeven dat v deel uitmaakt van het F.V., dan 
kan men als volgt laten zien dat dit gewoonlik meebrengt dat ook 
x m v er deel van uitmaakt 2 ). Is nl. 
V — c 0 4- c, y 4- . . . 4- c„ y’> + . . . (y = X — x 0 ) , 
de machtreeks waarin v op de plaats x==x 0 ontwikkeld kan worden, 
dan heeft men volgens de stelling van N°. 18, in het gebied («), . 
Tv = c 0 § 0 ' -j- Cj -j- .. . . j- e n § n ' + . . . * 
als § n ' de getransmuteerde van (x — x 0 ) n is. Past men nu T term 
voor term toe op de reeksontwikkeling van yv, dan komt er 
c 0 §1 d - c i §3 “T ■ • • + c » Sn lip... 
Uit de konvergentie van de eerste reeks volgt die van de tweede, 
] ) Hierbij is ook nog te bedenken dat de formule (51) geldig blijft, als men v 
door xv vervangt, hetgeen daarin zit dat hij geldt voor een willekeurige funksie 
die tot (8) behoort. 
2 ) Het is niet in strijd met onze afspraak, in ’t begin van N u . 19 gemaakt, dat 
we over het geval spreken waarin T*.X' ll v) niet tegelijk met Tv regulier is in 
gebieden groter dan (r^. Wel volgt uit die afspraak dat we ons alleen bemoeien 
met een T, die voor alle funksies met de konvergentiestraal r een getransmuteerde 
oplevert, regulier in een gebied kleiner dan (G), omdat voor de reeks V met dit 
laatste een gebied kleiner dan (r) korrespondeert. 
