als de verhouding van tot |'„ voor alle gehele n binnen eindige 
grenzen blijft. Dit nu is vaak het geval (b.v. bij S» en bij D en zo 
ja, dan is het dusdelik dat dan ook de reeks waartoe y m v aanleiding geeft, 
konvergeert. Stellen we de uitkomst een ogenblik voor door T 0 (y"‘v), 
dan hoeft dit wel niet, voor andere waarden dan m = 0, gelijk aan 
T (y m v ) te zijn, maar er bestaat dan toch een normale transmutatie 
nl. T 0 die, bij behoud van het N.V. («) )> (r : ), zowel v als y"‘v, en 
dus ook x m v in zijn F.V. bevat, en het is begrijpelik dat T in gewone 
gevallen zo gedefinieerd zal zijn dat het juist die transmutatie is. 
Is nu Tv en T (x m v) regulier in een gebied («) groter dan (r,), 
dan is dat ook niet a' m het geval, ei) dan is er veel kans dat 
a' x = lim \a’ m \ m in zo’n grotere sirkel geborneerd zal zijn, dus dat 
de reeks P, daarin volledig is. We komen zo definitief tot het inzicht : 
De reeks P l , die bij de transmutatie T 1 = (Tv) behoort, is niet 
alleen volledig in ieder gebied kleiner dan (rj, maar meestal in ieder 
gebied kleiner dan (r') als r' de konvergentiestraal van Tv is. 
Is nu de konvergentiestraal van de funksie u groter dan r, dan 
zal de reeks in een gebied groter dan (rj konvergeren. Men heeft 
dan voor de getransm u teerde van tv, voor de operatie T, door te 
ontwikkelen op de plaats w = v, naar machten van D 
drukking kunnen vinden die deze ge trans muteerde in een groter 
numeriek veld voorstel! dan het geval zou geweest zijn, als men 
ontwikkeld had op de plaats w — 1. Of we kunnen de zaak ook 
zó beschouwen dat, bij behoud van het numerieke veld (cc) (i\), 
het funksionele , dat eerst bestond uit funksies die tot een sirkel 
(,?) (r) behoren, nu is uitgebreid tot sommige funksies die niet tot 
(&) behoren, nl. diegene welke dezelfde soort singulariteit, in het 
gebied (;3), vertonen als een vaste funksie v (x), zodanig dat hun 
quotiënt met v regulier is in (,?) ; funksies, waarvan we ook kunnen 
zeggen dat ze in een meetkundig e omgeving van het funksionele 
punt v 0’) liggen. Zo opgevat ziet men in het hier beschouwde ver- 
schijnsel analogie met dat van de analitiese voortzetting in de funksie- 
teorie. (Vgl. N 0 . 8). 
21. We lichten nu het algemenere teorema van Taylor met een 
paar voorbeelden toe. Als transmutatie nemen we vooreerst, in een 
omgeving van de oorsprong, de substitutie S u waarin co een funksie 
van x is die x =. 0 als gewoon punt heeft, met, voor dat punt. een 
konvergentiestraal A. We hebben in N°. 17 (3e mededeling) uit- 
voerig toegelicht dat IS een normale transmutatie is, en wel zodanig 
