dat het numerieke veld een sirkel is met straal « <( A, en 
bet funksionele bestaat uit de funksies die behoren tot de met («) 
kousen triese sirkel, (o) waarvan de straal o gelijk is aan de grootste 
modulus van <u in het gebied («). Verder zagen we dat bij deze 
transmutatie een reeks P behoort die volledig is in. (o), met een 
korresponderend gebied (fl) dat bepaald wordt door de vergelijking 
0 = « + ! o* .(«'»?« ) — I , 
als ,v m het punt op de omtrek van («) is, waar jo> — x\ zijn maksi- 
mum bereikt ; we toonden aan dat minstens gelijk is aan o. 
Wij kunnen dus het funksionele teorema van Taylor toepassen 
op een funksie w = vu, mits we onderstellen dat de konvergentie- 
straal r van de vaste beginfunksie v groter is dan | cu (0) | . De sirkel 
(5\), waarmee (r), voor de reéks P, korrespondeert, wordt hier be- 
paald door’ de voorwaarde dat daarin de maksimummodulus van 
(o—x gelijk is aan r — r\, terwijl de konvergentiesirkel (r’) van S 0 ,(v) 
voldoet aan de voorwaarde dat daarin de maksimummodulus van 
ui gelijk is aan r. De ontwikkeling in de reeks P x u zal in liet 
gebied («), voor een funksie u die tot ((?) behoort, stelliy gelden, 
als a<^r x , maar vermoedelik ook als r x <^ct<^r'. We zullen zien 
hoe het hiermee gesteld is, en berekenen daartoe de grootheden 
a\ n met behulp van (45). Er komt 
a' m = (o» — x) m v [cu (,!•)] (co — ,v) m Sc, (v). 
De reeks P x u wordt dus, volgens (42) 
u( m ) 
Sci ( V u) = S 0 , (r) (to — x) m — - . • 
w m! 
0 
Brengt men hierin de faktor S»(v) buiten het somteken, dan is de 
overblijvende reeks juist de reeks Pu, die beantwoordt aan de 
transmutatie Sc,{u). Afgezien van de genoemde faktor konvergeert 
de reeks dus in ieder gebied («) <( (A), mits u tot het gebied (p) 
behoort. Met de faktor S 0 ,(v ) er bij konvergeert de reeks dus voor 
zo’n funksie in ieder geval nog, indien cc kleiner is dan de konver- 
gentic straal r' van Sc,(y). Daarmee is ons vermoeden bevestigd. 
Is bv. a>(xj = ix, dan is a m — dus a(n) — j-a en (3 = : 
zodat men heeft 
r x =fr 
Maar de konvergentiesirkel (r') van S^ x (v) heeft een straal 
r' — 2 r 
zodat de reeks P x hier in een vrij wat groter gebied dan (r a ) 
volledig is. 
22. Als tweede voorbeeld nemen we de transmutatie D~ x , insgelijks 
in een omgeving van x =z 0. In N°. 16 zagen we dat D' 1 normaal 
