voudig punt; door P gaan dus (9 n* — 21n) van haar raaklijnen. Deze 
vormen thans twee groepen : de eerste bestaat uit basisraaklijnen t, 
de tweede uit raaklijnen u in nndnlatiepunten. 
Nu snijdt" ( P ) de kromme L in 3 {n — 1) (2 n — 3) punten D, 
waarvan een der beide raaklijnen door P gaat (klasse der kromme 
van Zeuthen) 1 ), dus in 9 (n — l) 2 — 3 (» — 1) (2 n — 3) of 3n (a — 1) 
punten 1), waarvoor de basisraaklijn t door P gaat. 
Hieruit volgt dan, dat P gelegen is op (9 n* — 21 n) — (3 ;r — 3 n), 
dus op (6 'ti 1 — 18 h, raaklijnen u. De vierpuntige raaklijnen omhullen 
derhalve een kromme van de klasse Qn(n — 3) 2 ). 
Wiskunde. — De Heer Jan de Vries biedt een mededeeling van 
Dr. K. W. Walstra aan: „Over een afbeelding va, n het cirkel 
veld op de ruimte” . 
(Mede aangeboden door den Heer Hendrik de Vries). 
§ 1. De cirkels in het vlak XOY worden voorgesteld door 
(7 = X 2 + F 2 - 2aX - 2 bY + c= 0. 
Beschouwen wij a, b en c als de coördinaten x, y, z van een punt, 
dan wordt een overeenkomst één aan één verkregen tusschen de 
cirkels van een vlak en de punten der ruimte. Het beeldpunt van 
een cirkel verkrijgt men door in het centrum een loodlijn op het 
vlak te plaatsen en daarop als coördinaat uit te zetten de macht 
van het punt O t. o. v. den cirkel. 
Voor den straal heeft men ?■* — a 2 - {- b~ — c. 
Cirkels met gelijken straal worden dus afgebeeld door de punten 
van een omwentelingsparaboloïde, met vergelijking x 2 y % — s = r 2 . 
De beelden der puntcirkels liggen öp het grensoppervlak G, 
x 2 + f — 
een omwentelingsparaboloïde , die het vlak XOY in O aanraakt. 
§ 2. Een cirkelbundel wordt aangewezen door C\ + /C' 2 = 0. 
Voor het exemplaar X heeft men 
(1 -|- A) a a 1 -(- Acij, (1 -+-■ A) b = b 1 -j~ /& 2 , (1 -f- A) c = Cj -j u ^b 2 . 
Hieruit volgt voor de beeldpunten 
x ~' _ y—Vi _ z ~ z i 
Vi —y, z i- z 2 
M Zie -mijn mededeeling „Over netten van algebraïsche vlakke krommen ” 
(Verslagen XIII, 710.) 
• 3 ) Verslagen XXI11, 863. 
