964 
§ 2. Elke rechte / door een gegeven punt P bevat één groep 
van S 4 ; deze viertallen punten vormen een oppervlak 77. Nemen 
wij voor de rechte / een rechte, die het door P gaande oppervlak 
a 3 in P aanraakt, dan zal één der punten van de bijbehoorende 
groep in P vallen. Het oppervlak TI gaat dus door P en raakt daar- 
liet door P gaande oppervlak a 3 aan, omdat de raaklijnen van 77 
in P ook de raaklijnen van a 3 in P zijn. Het oppervlak 77 heeft 
dus in P een enkelvoudig punt. Elke door P gaande rechte / heeft 
dus met TI tezamen vijf punten gemeen. Dit oppervlak is dus van 
den vijfden graad. Gemakkelijk ziet men, dat het niets anders is 
dan het pooloppervlak van P ten opzichte van den bundel ( a 3 ). 
Gaat de rechte / door een punt Q van jé', dan zullen twee der 
oppervlakken a 3 , die l aanraken, samenvallen tot het oppervlak, 
dat l aanraakt in het punt Q; de bijbehoorende snijpunten van 
/ en 77 vallen dus ook samen. Het oppervlak 77 gaat dus door q° 
en raakt langs deze kromme den kegel aan, die f uit P projecteert. 
De rechten /, waarbij een der punten van het daarop gelegen 
viertal in P valt, zijn de raaklijnen in P van het door P gaande 
oppervlak a 3 . De meetkundige plaats van de overige punten dezer 
groepen is blijkbaar de doorsnede van het oppervlak 77 met het 
raakvlak in P, dus een kromme van den vijfden graad, die in P 
een dubbelpunt heeft. 
§ 3. Beschouwen wij een rechte /, die de kromme q 9 in een punt 
P snijdt, dan zullen twee der oppervlakken a 3 , die l aanraken, 
samenvallen tot het oppervlak, dat 7 in P aan raakt. Laten wij dus 
de rechte l om P draaien, dan zullen steeds 2 punten der op l 
gelegen groep in P vallen, zoodat de rechte l het bij P behoorende 
oppervlak 77 5 buiten P nog slechts in twee punten snijdt. Dit opper- 
vlak 77 5 heeft dus thans in P een drievoudig punt. 
De punten van (p zijn dus singuliere punten van S 4 ; immers zij 
behooren elk tot cc ' 2 groepen, terwijl een willekeurig punt tot co 1 
groepen behoort. 
Nemen wij thans voor het punt P het conische punt van een der 
32 nodale oppervlakken a 3 . Voor elk der rechten / door P behoort 
dit oppervlak dan tot de oppervlakken a 3 , die l aanraken, zoodat 
een der punten van de op / gelegen groep in P valt. Dit punt P 
is dus eveneens een singulier .punt van S 4 . Elke rechte door P snijdt 
het bij P behoorende oppervlak IV in drie buiten P gelegen punten ; 
dit oppervlak heeft dus in P een conisch punt. 
§ 4. Wij zullen thans de coïncidenties van S A beschouwen. Indien 
