J 02 1 
te maken. Dit kost geen moeite. Want volgens het zo even opgemerkte, 
en in verband met premisse 3®, is r l\ kontinu in het F. V. van 
funksies die lot ( q ') behoren, en het N. V. (n) ; dit wil zeggen: Hij 
ieder pozitief' getal r, willekeurig klein gegeven, is er een bedrag ï/, 
zodanig dat 
] iv : 7 7 2 (u) j < t, in het gesloten gebied («), 
als 
\v\ , in het gesloten gebied ((>'). 
Ook houdt premisse 3° in dat T j kontinu is in het F. V. van 
funksies die tot (q) behoren, ten aanzien van het N. V. (q'); dit wil 
zeggen: Hij ieder, willekeurig klein gegeven pozitief getal r\ is er 
een bedrag d, zodanig dat 
v m-: T x (u) j in het gesloten gebied (9'). 
als 
| u <j (f , in het gesloten gebied (o). 
Uit de beide voorgaande konkluzies volgt deze andere: Hij ieder 
pozitief, willekeurig klein gegeven getal r is er een bedrag d, 
zodanig dat 
w= T,T x (n)= Tu\ <j t, in het gesloten gebied («), 
als 
\u\ ^ , in het gesloten gebied (q). 
De transmutatie 7 7 is dus inderdaad kontinu, als men als korres- 
ponderende numerieke velden (a) en (9) aanneemt, en het bewijs 
van de normaliteit van T is daarmee voltooid. 
Er blijft nu nog over, het tweede punt van de konkluzie aan 
te tonen. 
Beschouw een funksie u die tot de sirkel ((>) behoort; zoals we 
bij het bewijs van het eerste punt zagen, levert Tj voor zo’n funksie 
een getransmu teerde op die behoort tot (q'). Bovendien kan r l\(u), 
volgens het in N° 15 (3 R mededeling) bewezen funksionele teorema 
van Ma Laurin, in. het gebied (p') door P x (u) worden voorgesteld: 
ook dit geldt in verband met premisse 3°. We hebben dus 
v 
k! ’ 
o 
als we de koeffisienten van de reeks P x door /^(.r) of kortweg 
aanduiden. Deze reeks konvergeert uniform in het gebied (q’) (zie 
N°. 4, 1° mededeling). Volgens de stelling van N°. 18 (4" mede- 
deling) kan dus de getransmuteerdq w ==. 1\(v) van .v in het gebied 
(«) gevonden worden door term voor term op de reeks toe te 
passen, zodat men heeft 
66 * 
