J 025 
komen, is, naar wij menen, nog een nadere opheldering nodig, en 
daarom willen we bij dit punt even stilstaan. 
Bij de bepaling van de reeks P maakt Bourlet gebruik van de 
door hem ingevoerde opera tieffunksie , d.i. een uitdrukking 'ƒ(*,*)/ 
bepaald door 
a. z a. z n 
ƒ OM) = a<i " i | j" ‘ * ‘ ' ‘ (^) 
en waaruit men de transmuterende reeks, toegepast op de funksie 
u, krijgt, door z m te vervangen door D m u ; tevens geldt dat de 
formele n e afgeleide van deze reeks, naar z, de operatieffunksie is 
die beantwoordt aan de jf afgeleide van de transmutatie P, zoals 
gemak kei ik met behulp van formule (39) (4 1 ' mededeling) is te zien, 
waar a' m hetzelfde betekent als T m {v). De operatieffunksie, aanvankelik 
alleen een simbool, heeft voor een reeks die volledig is in een gebied («) 
de eigenschap dat bij, als men z als kompleks getal opvat, voor iedere 
waarde van x in het gebied («), en voor willekeurige waarden van 
z, een /convergente machtreeks in z voorstelt, en dus ook een in 
<2 = 0 reguliere funksie van z:.de naam operatief funksie is hierdoor 
gerechtvaardigd. De reden hiervan is onmiddeilik duidelik, als men 
bedenkt, dat het 'eigenaardige karakter van de volledige transmutatie 
daarin bestaat, dat de koëffisienten a m {x), voor iedere waarde van x 
in het volledigheidsgebied {dj, kleiner zijn, in absolute waarde, dan 
de m » macht van een van m onafhankelik pozitief getal a'(«). 
Duiden we de operatiefreeksen die behoren bij P, en P s resp. door 
f x (x,z) en • ƒ; (x,z) aan, of kortweg door f x en / 2 , dan zijn dus f\ 
en f 2 , in een omgeving van s = 0, reguliere funksies van 2 , indien 
x een punt van het gebied («) is. Verder zuilen, aangezien, 
zoals we gevonden hebben, de rezul terende reeksen P en P, die 
resp. uit de schema’s (56) en (56; voortvloeien, beide volledig zijn 
in het gebied («), de korresponderende operatiefreeksen f\x,z) en 
F{x,z)'- eveneens, voor iedere waarde van x in het gebied («), in 
een omgeving van z'— 0 kon vergeren, en een in zo’n omgeving 
reguliere funksie van z -voorstellen. 
Deze operatiefreeksen had men ook meer rechtstreeks uit de 
genoemde schema’s kunnen krijgen, door daarin eerst overal D k u,‘ 
{D k u) door z k te vervangen en daarna telkens de termen met z k als 
fakfor tot een enkele term, met dezelfde macht Van z le als faktor, 
te verenigen. Deze term is inderdaad de remplacant van de term 
met de faktor D k u {D k u) in de gevonden reeks P (P); immers, deze 
laatste was ontstaan, door alle termen in het oorspronkelik schema 
met Dhi (©%) als faktor te verenigen, en al deze termen, en geen 
andere, gaan - iri' • termen • met • z k over. Aangezien nu, krachtens de 
