1029 
T— S a ^ X ), waarbij Sr,>( X ) de substitutieoperatie is, met o>(x) of u> als 
substi tutiefunksie,- die we in N°. 17 gedefinieerd en als een 
normale hebben leren kennen. We beschouwen, evenals daar, een 
omgeving van de oorsprong, en hebben dan gezien dat als tweetal 
van toegevoegde velden kan dienen ieder veldpaar waarvan het 
N. V. een sirkel (5) is kleiner dan de kon vergen tiesirkel (A) van 
o) {x), en het F. V. bestaat uit de funksies die behoren tot de sirkel 
(<j), als o de maksimummodulus van 10 (,c) in het gebied (g) is. Ver- 
der 1 vonden we dat de bij S behorende reeks volledig is in elk 
gebied ( ), als hier bedoeld, met als korresponderend gebied een 
sirkel (>;) waarvan de straal minstens gelijk is aan het genoemde 
getal o ; daaruit kunnen we onmiddellik afleiden dat ook aan 
premisse 3 ° van ons teorema voldaan is. Van het drietal getallen 
waarvan in premisse 2° sprake is, moet et klein genoeg gekozen 
worden om te zorgen dat het getal y dat, vóór de aan S beant- 
woordende reeks P 2 {= Pj, met « korrespondeert, kleiner is dan 
de konvergentiestraal A van o». Het kan natuurlik voorkomen dat 
dit onmogelik is, nl. als reeds met « — O een getal y groter dan .1 
korrespondeert. Wij beschouwen dus een geval waarbij dit laatste 
zich niet voordoet, dan is aan premisse 2 C voldaan en hebben we 
y = a -j- j ü)(x m ) — ( 60 ) 
P= y + — «'m N • • • • • • (61) 
als x m het punt op de omtrek van («) en xj dat op de omtrek van 
(y) is, waar ta{x) — x zijn maksimummodulus aanneemt. 
We kunnen dus het teorema toepassen, hetwelk leert dat de' 
transmutatie T = S 0 , 3 en de korresponderende reeks P normaal zijn, 
met als N. V. O. («) en als bijbehorende N. V. F. een sirkel die 
hoogstens gelijk aan QS) hoeft genomen te worden '). Men kan gemak- 
kelik verifiëren dat dit uitkomt: Blijkbaar is T=S 3 een nieuwe 
substitutie met de substitutiefunksie 
0) 2 (x) = co{co(«)| ; 
daardoor is de rezulterende reeks P tegelijk met de gegeven reeksen 
P j en P 2 bekend, waarom we hier maar niet van de formule van 
Bourlet gebruik maken. Het getal dat, voor die rezulterende reeks 
P, met a korrespondeert, noemen we t 5 1; dan wordt ( >j bepaald dooi' 
ft. = « + | «>,(»/«) — *>|, 
waarin het punt op de omtrek van ia) is, waar u> 2 (./;) — x zijn 
grootste modulus krijgt. De uitkomst die het teorema oplevert, zal 
hiermee in overeenstemming zijn, als Dit is het geval. Voor- 
. ') We hebben hier punt 1° en punt 2° Van het teorema in één uitspraak samengevat.. 
