1059 
§ 3 . Bewijs der formule (8j. 
Substitueer in de uitdrukking: Spk'.dqjc voor </ en p de reeks- 
ontwikkelingen (1); bij de differentiatie worden de Q’ s, de P’ s' en t 
als onafhankelijk veranderlijken beschouwd, terwijl de parameter a 
een expliciet gegeven funktie van t is. Men krijgt dan : 
2 p k . dqjt =? ^ ƒ * dQk + JS H . dPk -f ƒ, . ^ . dt 
1 J d at 
ƒ ij ƒ2, ƒ3 zijn FouRiER-reeksen naar de f^’s. 
Daar bij konstante « deze substitutie een kontakt-transformatie 
is, moet : 
2 dQ k H- ^ ƒ} . dP K = V p L d Q h + V ^ rfQ* _L_ V " dPk (12) 
1 oQk dZk; 
zijn. Dus is : 
ö VT [ cos I 
a&= - Pi f/t=- * + 
en : 
( cos ) 
. KQi + 
sin ) 
Verder heeft men : 
ÖPT 
W k 
=f\ 
dvi 
*+*üï<* + -* 
dÓn 
dPk 
K'Qx -f . • . to«Q») 
In ƒ2 komen de Q’s alleen in cosinussen en sinussen voor; hieruit 
volgt dat in het rechterlid dezer vergelijking de koefficient van 
Qk nul moet wezen, zoodat : 
yj - ft 4 - *Mp) 
Daar de voorwaarde ( 12 ) de P ’ s en Q’s slechts tot op additieve 
konstanten bepaalt, kan men de grootheden Jtk(a) steeds in de P’s 
opnemen. Onderstellea we dat dit het geval is, dan krijgen we: 
Y* = Pk, 
dus : 
W = 2 dn 
Nu 
F=f t 
{ m iQi • • • m, n Q„) . . . . (13) 
dW 
da 
een FouRiER-rgg&s naar de Q’$, waarmee het gestelde bewezen is. 
Opmerkingen. 
1 . Neemt men n k (a) niet in P k op, dan blijkt; 
Pk + nje.ift) = adiabatische invariante. 
