1271 
x ! — R sin z sin ip sin ib x x = R sin co sin X sin *p sin tb 
x a = R sin x sin ip cos i) x a — R sin co sin x sin lp cos ib 
x t = R sin X cos tp <v t = R sin O) sin x cos tp 
x 4 - — R sin ai cos x 
De uitdrukking voor het • lijnelement wordt dan in de beide 
gevallen : 
A : ds 3 = — R 3 [d'B + sin 3 x(^ l P 3 + ®w s tp J -(- c 3 dt 3 , 
B: ds 1 = — ü 2 [rfa> 2 -)- sin 3 ao\d'B + sïnï xi^ty 2 + sï?<2 ipdA 1 *)}]* 
Ten slotte voer ik de „stereographische projectie” uit, en voer 
tevens weer rechthoekige cartesische coördinaten in, door de trans- 
formaties : 
A 
B 
r — 2 R tan lx 
x = r sin tp sin {b 
y — r sin tp cos %b 
z —r cos tp 
h — 2R tan o 
x — h sin x sin tp sin \b 
y = h sin x sin tp cos & 
z — h sin v cos ip 
iet — h cos x 
x 3 + y 2 + V —c°-t 3 == h 3 
Natuurlijk kan men in A x,y,z en in B x,y,z, iet willekeurig 
verwisselen. Ik stel verder ter bekorting 
De g^j voor de variabels x, y, z, ct worden dan l ) 
] ) In het stelsel B worden alle gy.j oneindig op de „hyperboloïde” 
1 -f oh 3 = 0 of 4Z2 3 -j- x 3 + y 3 + z 3 — c 3 t 3 = 0 . . . (o.) 
Deze schijnbare discontinuïteit is ingevoerd, doordat wij terwille van de sym- 
metrie de vier-dimensionale wereld als spherisch hebben voorgesteld, terwijl zij 
in werkelijkheid hyperboloïdisch is, en bestaat uit twee bladen, die alleen in het 
oneindige samenhangen. De formules omvatten beide bladen, hoewel natuurlijk 
slechts één van de twee de werkelijke wereld voorstelt. De hyperholoïde (a) is 
de grens tusschen de afbeeldingen der twee bladen op de euclidische ruimte 
x, «/, 2, ct. Zij snijdt de £-as in de punten ct = ± 2 72, waarvan de afstand tot den 
oorsprong, in natuurlijke maat 
De lengte van de 
o 
halve x-as in natuurlijke maat is in beide systemen 
0 
