Zelfde getal k als eksponent bij een letter a hebben nl., aangenomen 
dat aan de zo even genoemde hoofdvoorwaarde voldaan is, lot 
remplac;ant termen met datzelfde getal k als indeks bij a, terwijl de 
koëffisienten van a k in de simboliese termen stuk voor stuk gelijk 
zijn aan de koëffisienten van aj c in de korresponderende remplacanten. 
De som van deze koëffisienten maal a K ' is de analitiese som van de 
simbolen, en de som van diezelfde koëffisienten maal aj c is de som 
van de korresponderende eigenlike uitdrukkingen. De laatste som 
is dus inderdaad de remplacant van de eerste. 
Heeft men een produkt van simboliese machten van eenzelfde 
letter, dan is nauwkeurig vast te stellen, of men daarmee bedoelt 
het produkt van de eigenlike betekenissen of de eigenlike betekenis 
van het analities produkt, d.i. de enkele macht van diezelfde letter 
die men krijgt door de machten volgens de gewone regel met elkaar 
te vermenigvuldigen, en die tot eksponent heeft de som van de 
afzonderlike eksponenten. Want de remplacant van het analities 
produkt van enige machten van eenzelfde letter is in ’t algemeen 
niet gelijk aan het produkt van de remplacanten van de faktoren. T ) 
Wij zullen, waar het een produkt van machten van eenzelfde letter 
geldt, uitsluitend met het geval te doen k rijgen dat dit altoos eerst 
tot een enkele macht van die letter herleid moet worden, en daarna 
de eksponent door een indeks vervangen. M.a.w. de eigenlike vormen 
zullen altoos lineaire funksies van indeksgrootheden met eenzelfde 
letter zijn. 
Allereerst beginnen we met er opmerkzaam op te maken dat het 
funksionele teorema van Mac-Laurin, behandeld in de 3 I! mededeling, 
aanleiding geeft tot een v eralgemening van de simboliese formule (23) 
= (* + «)'”, ..... (23) 
die de getransmuteerden §, m van de funksies x m uitdrukt in de koëf- 
fisienten a m van de reeks P die aan de normale transmutatie T 
beantwoordt. De formule (23) is geldig in ieder sirkelvormig gebied 
(«) waartoe alle funksies a m en behoren ; dat er zodanige gebie- 
den zijn, hebben we juist, in N°. 15, als een van de kenmerken 
beschouwd die een transmutatie normaal maken. 
Is nu de reeks P tevens volledig in zo’n gebied («), dan zegt 
het funksionele teorema van Mac-Laurin dat men in dat gebied heeft 
O 
voor funksies u die tot het met («) korresponderende gebied (<?) 
behoren. 
b Zie echter het voorbeeld in N ü . 35. 
