1 355 
van (t ontwikkelen en eerst daarna de eksponenten door indeksen 
vervangen. 
We komen nu tot de simboliese voorstelling van het meer alge- 
mene fnnksionele teorema van Taylor, behandeld in de vierde 
mededeling. Passen we (67) toe op het prodnkt van de fnnksies v 
en u, beide behorende tot (/?), dan komt er 
T(y{ay)u(x)) = v(x \- a) u(x \ a) (69) 
maar dit mag voorlopig niet anders worden opgevat dan dat men 
het rechterlid beschouwt als gelteel, en het dus vervangt door de 
machtreeks in de letter a die aan de funksie w(x-\-a) = v(x-\-a)u(x-\-a) 
beantwoordt, indien a een kompleks getal voorstelt. Deze machtreeks 
kan men onder andere ook krijgen, door de beide reeksen, die 
afzonderlik aan' v(x-\-a) en u(x-\-a) beantwoorden, volgens de gebrui- 
kelike regel met elkaar te vermenigvuldigen (dus elke term van de 
ene reeks met elke term van de andere) en het komende aggregaat 
zo te groeperen dat termen met eenzelfde macht van a bijeenkomen. 
Neemt men nu echter in het genoemde aggregaat telkens samen 
alle termen die dezelfde van u(x-\-a ) afkomstige term 
a m u( m )(x) 
m ! 
bevatten, dan komt men tot de fnnksionele reeks van Taylor. 
Immers, de groep welke de hier neergeschreven term bevat, wordt 
simbolies voorgesteld door 
a m v (x 4- a) 
u 
ml 
wat volgens (68) gelijk is aan 
T( m ) (v)u f . 1ft )(x) 
m ! 
Maar dit is juist, indien we v(x) als ,, beginpunt” en u(x) als ,,aan- 
groeiing” aannemen, de algemene term van de bedoelde reeks, 
waarvan we de geldigheid vroeger bewezen hebben. Dit bewijs 1 ) 
komt natuurlik hierop neer dat we de aangegeven verandering in 
groepering van het bovengenoemde aggregaat als geoorloofd hebben 
aangewezen, door te doen zien dat het absoluut konvergent is. Het 
mag dus ook op willekeurige wijze gegroepeerd worden, zodat men 
de simboliese formule (69) aldus interpreteren kan : vervang beide 
fnnksies v(x-\-a ) en u(x-\-a) door hun machtreeksen in a, vorm het 
9 We willen hier de opmerking plaatsen dat het bedoelde bewijs eenvoudiger 
wordt, als men, evenals we in de vijfde mededeling gedaan hebben, van de majorant- 
funksies a,n van a m gebruik maakt. Dan is echter ook nodig dat men vooraf de 
hulpstelling van No 23 bewezen heeft. 
