1356 
aggregaat dat ontstaat door de rnultiplikatoriese kombinatie van de 
reekstermen, en vervang daarin de eksponenten door indeksen. 
Groepeert men het zo verkregen aggregaat naar indeksen van a, 
dan krijgt men eenvoudig de funksionele reeks van Mac-Laurin 
voor Tw = T (vu); rangschikt men echter naar machten van Du, 
dan komt er de funksionele reeks van Taylor voor Tw op de plaats 
10 = v; zou men echter rangschikken naar machten van Dv, dan 
kwam er de funksionele reeks van Taylor op de plaats w = u. 
De simboliese formule (69) bevat al deze gevallen in zich; alleen 
moeten we de opmerking maken dat, als we het rechterlid ontwik- 
kelen naar machten van Du, de algemeene koëffisient in die ontwik- 
keling, die op de faktor 1 : m! na gelijk is aan 
a m v(x -j- a), 
of ook gelijk aan T’ { - m \v), in deze vorm alleen betekenis heeft in 
gebieden («) kleiner dan (r x ), als r 1 de a-waarde is waarmee als 
ji-waarde de konvergentiestraal r van v korrespondeert ; terwijl we 
in N°. 20 gezien hebben dat de andere vorm voor die koëffisienten, 
bepaald door (45), mogelikerwijs in gebieden groter dan (i\) betekenis 
heeft. 
31. We komen nu tot ons aanvankelik doel, een simboliese 
formule te konstrueren die de koëffisienten a m van de reeks P, be- 
horende bij de samengestelde transmutatie T = T i 2\, uitdrukt in 
de koëffisienten en (x m van de samenstellende reeksen P x en P a . 
Zoals gezegd is, bepalen we daartoe eerst de funksies 
= 1\T Spd*), 
waarin T de gehele machten x k transformeert, om daaruit met behulp 
van de, in ’t begin van deze mededeling nog eens herhaalde formule 
(24) de funksies a m af te leiden. Het verschil met de in N°. 24 van 
de vorige mededeling gevolgde gang bestaat dus hierin dat men 
T^T X voor de biezondere funksie x 1: , in plaats van dadelik voor de 
willekeurige u, heeft te bepalen. Dit kan natuurlik slechts tot ver- 
eenvoudiging leiden. 
We behouden geheel de notaties en onderstellingen van N°. 24, 
nemen dus met name aan dat er drie getallen a, y, /?, met de eigen- 
schappen als daar vermeld, bestaan. Om te beginnen merken we 
weer op dat x k tot de sirkel ($), dus 2\{x k ) tot (y), dus T a 7\(x k ) 
tot («) behoort. M. a. w. £& is een in het gesloten gebied («) reguliere 
funksie en we voegen er maar dadelik aan toe dat hieruit, met 
behulp van (24), voor a m hetzelfde volgt. Verder ontwikkelen we 
T x (x k ), als T x u in N°. 24, in de reeks van Mac-Laurin, die hier 
